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RECHERCHES

le second, seront encore résidus. Le calcul de la période, c’est-à-dire celui des formes les plus simples, s’exécute avec une facilité étonnante, quand $a$ est très-petit, et surtout quand $a=3$, ce que l’on peut toujours obtenir si $kM\equiv 2{\pmod {3}}$^[1]. Voici le commencement de la période de la classe dans laquelle est contenue la forme $(3,1,332444)$ :

${\begin{array}{lrrrrl}C&=\ (&3,&1,&332444&),\\C^{2}&=\ (&9,&-2,&210815&),\\C^{3}&=\ (&27,&7,&36940&),\\C^{4}&=\ (&81,&34,&12327&),\\C^{5}&=\ (&243,&34,&4109&),\\C^{6}&=\ (&729,&-209,&1428&),\\C^{7}&=\ (&476,&209,&2487&),\\C^{8}&=\ (&1027,&342,&1085&),\\C^{9}&=\ (&932,&-437,&1275&),\\C^{10}&=\ (&425,&12,&2347&),\\{\text{etc}}.&&&&&\\\end{array}}$

On tire de là les résidus suivans, en rejetant ceux qui sont inutiles,

${\begin{array}{cccc}3.476,&1027,&1085,&425,\\\end{array}}$

ou, en supprimant les facteurs quarrés,

${\begin{array}{cccc}3.7.17,&13.79,&5.7.31,&17.\\\end{array}}$

Si l’on combine convenablement ces nombres avec les huit qu’a donnés la méthode II, on obtient facilement les douze suivans :

${\begin{array}{rrrrrr}-2.3,&13,&-2.7,&17,&37,&-53,\\-5.11,&79,&-83,&-2.59,&-2.5.31,&2.5.67.\\\end{array}}$

Les six premiers sont ceux dont nous nous sommes servis n^o 331. Nous aurions pu ajouter les résidus $19$ et $-29$, si nous avions Voulu nous servir de ceux qu’a fournis la méthode I ; quant aux autres trouvés par cette méthode, ils sont dépendans des résidus que nous venons de déterminer.

333. La seconde méthode, pour décomposer en facteurs un nombre donné, se tire de la considération des valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$, et repose sur les observations suivantes :

I. Quand $M$ est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, impair et non-diviseur de $D$, $-D$ est résidu

ou non-résidu de $M$, suivant que $M$ est compris dans une forme

1. Comme le cas où $M$ est divisible par $3$, ne peut se présenter (n^o 329), il est aisé de voir que l’on est même toujours maître de prendre $k$ tel que $kM$ soit $\equiv 2{\pmod {3}}$. (Note du traducteur).

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