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ARITHMÉTIQUES.

qui ne peuvent se réduire en aucune manière, si $p$ est un nombre premier.

Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone de $17$ côtés peut être construit géométriquement ; mais pour déterminer le polygone de $289$ côtés, on ne peut éviter d’aucune manière l’équation du dix-septième degré.

337. Tout le monde sait que les fonctions trigonométriques des angles ${\frac {kP}{n}}$, $k$ désignant indéfiniment les nombres $0$, $1$, $2$, …$n-1$, sont les racines d’une équation du degré $n$ ; ces équations sont :

pour les sinus,— $x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}$ $+{\frac {1}{16}}{\frac {n(n-3)}{1.2}}x^{n-4}$

$-{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}$ + etc. $=0$ ….(I)

pour les-cosinus,— $x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}$ $+{\frac {1}{16}}{\frac {n(n-3)}{1.2}}x^{n-4}$

$-{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}$ $+$ etc. $={\frac {1}{2^{n-1}}}$ …(II)

pour les-tangentes,— $x^{n}$ $-{\frac {n(n-1)}{1.2}}nx^{n-2}$

$+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}x^{n-4}$ $+$ etc. $\pm nx$ $=0$ …(III)

Ces équations, qui sont toutes vraies quand $n$ est impair (la seconde l’est même quand $n$ est pair), se réduisent facilement au degré $m$, en faisant $x=2m+1$, savoir, pour la première et la troisième, en divisant par $x$ et posant ensuite $x^{2}=y$ ; quant à la seconde, elle renferme nécessairement la racine $x=1=\cos 0$, et les autres sont égales deux à deux, $\cos {\frac {P}{n}}=\cos {\frac {(n-1)P}{n}}$, $\cos {\frac {2P}{n}}=\cos {\frac {(n-2)P}{n}}$, etc. Donc l’équation est divisible par $x-1$ et le quotient est un quarré. En extrayant la racine, l’équation devient
$x^{m}+{\frac {1}{2}}x^{m-1}$ $-{\frac {1}{4}}(m-1)x^{m-2}$ $-{\frac {1}{8}}(m-2)x^{m-3}$

$\textstyle +{\frac {1}{16}}{\frac {(m-2)(m-3)}{1.2}}x^{m-4}$ $\textstyle +{\frac {1}{32}}{\frac {(m-1)(m-4)}{1.2}}x^{m-5}-$ etc. $=0$,

dont les racines sont les cosinus des angles ${\frac {P}{n}}$, ${\frac {2P}{n}}$, ${\frac {3P}{n}}$, …${\frac {nP}{n}}$. On ne connaissait pas jusqu’à présent de réductions ultérieures de ces équations, même pour le cas où $n$ est un nombre premier.