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RECHERCHES

Cependant aucune de ces équations n’est si commode à traiter, ni se prête tant à notre dessein, que l’équation $x^{n}-1=0$, dont on sait que les racines sont intimement liées avec les racines des premières. En effet, si l’on représente par $i$ la quantité imaginaire ${\sqrt {-1}}$, les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ sont représentées par la formule

$\cos {\frac {KP}{n}}+i\,\sin {\frac {KP}{n}}=r$,

où l’on doit prendre pour $K$ tous les nombres $1$, $2$, $3$,…$n-1$ ; ainsi, comme on a

${\frac {1}{r}}=\cos {\frac {KP}{n}}-i\,\sin {\frac {KP}{n}}$,

les racines de l’équation (I) seront exprimées par

${\frac {1}{2i}}\left(r-{\frac {1}{r}}\right),\quad {\text{ou}}\quad {\frac {i\left(1-r^{2}\right)}{2r}}$ ;

celles de l’équation (II) par ${\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)={\frac {1+r^{2}}{2r}}$ ;

celles de l’équation (III) par ${\frac {i\left(1-r^{2}\right)}{1+r^{2}}}$.

C’est pourquoi nous établirons nos considérations sur l’équation $x^{n}-1=0$, en supposant que $n$ soit un nombre premier impair ; mais pour ne pas interrompre l’ordre de nos recherches, nous commencerons par le lemme suivant.

338. Problème. Étant donnée l’équation (W)…$\mathrm {} z^{m}+Az^{m-2}+{\text{etc.}}=0,$ trouver une équation (W'), dont les racines soient les puissances $\lambda$ de celles de l’équation (W), $\lambda$ étant un nombre entier positif donné.

Désignons les racines de l’équation (W) par $a$, $b$, $c$, etc., celles de l’équation (W') devront être $a^{\lambda }$, $b^{\lambda }$, $c^{\lambda }$, etc. Or, par le théorème de Newton, on peut trouver en fonction des coefficiens de l’équation (W), la somme des puissances quelconques des racines $a$, $b$, $c$, etc. ; on cherchera donc les sommes

$a^{\lambda }+b^{\lambda }+c^{\lambda }$, ——$a^{2\lambda }+b^{2\lambda }+c^{2\lambda }+$ etc., etc.,

jusqu’à $\qquad a^{m\lambda }+b^{m\lambda }+c^{m\lambda }+$ etc.,

d’où