Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/460

438

RECHERCHES

degré $\beta$, etc. Desorte que $\nu$ étant le nombre des facteurs $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc., la recherche des racines $\Omega$ est ramenée à la résolution de $\nu$ équations des degrés $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc.

Par exemple, pour $n=17$, on a $n=2.2.2.2$ ; il faut résoudre quatre équations du second degré ; pour $n=73$, il faut en résoudre trois du second et deux du troisième.

Comme nous aurons souvent à considérer par la suite des puissances de $r$ dont les exposans sont eux-mêmes des puissances, et que ces sortes d’expressions se prêtent difficilement à l’impression, nous userons de l’abréviation suivante pour $r$, $r^{2}$, $r^{3}$, etc. Nous écrirons $[1]$ , $[2]$, $[3]$, etc. et généralement $[\lambda ]$ pour $r^{\lambda }$, $\lambda$ étant un nombre entier quelconque. Ces expressions ne sont pas entièrement déterminées, mais elles le deviennent lorsque l’on prend pour $r$ ou $[1]$ une racine déterminée de $\Omega$. Ainsi $[\lambda ]$ et $[\mu ]$ seront en général égaux ou inégaux, suivant que $\lambda$ et $\mu$ seront congrus ou incongrus suivant le module $n$. En outre on a

$[0]=1$,——-.$[\lambda ].[\mu ]=[\lambda +\mu ]$, ——$[\lambda ]^{\mu }=[\lambda \mu ]$,

et …………$[0]+[\lambda ]+[2\lambda ]+[3\lambda ]+\,etc.\,+[(n-1)\lambda ]=0$, ou $n$,

suivant que $\lambda$ est non-divisible ou divisible par $n$.

343. Si, pour le module $n$, $g$ est un de ces nombres que (Section III) nous avons appelés racines primitives, les $n-1$ nombres $1$, $g$, $g^{2}$, …$g^{n-2}$ seront congrus aux nombres $1$, $2$, $3$,…$n-1$ suivant le module $n$, quoique l’ordre ne soit pas le même, c’est-à-dire que tout nombre de la première suite sera congru à un de ceux de la seconde. Il suit de là que les racines

$[1]$,——$[g]$, ——$[g^{2}]$.....——$[g^{n-2}]$,

coïncident avec $\Omega$ ; et de même plus généralement

$[\lambda ]$,——$[\lambda g]$, ——$[\lambda ]g^{2}]$.....——$[\lambda g^{n-2}]$

coïncident avec $\Omega$, si $\lambda$ est un nombre entier quelconque, mais non-divisible par $n$. Et comme on a $g^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$, on voit sans peine que les deux racines $[\lambda g^{\mu }]$, $[\lambda g^{\nu }]$ sont identiques ou différentes, suivant que $[\lambda g^{\mu }]$ et $[\lambda g^{\nu }]$ sont congrus ou incongrus suivant le module $n-1$.