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ARITHMÉTIQUES.
Si donc
est une autre racine primitive, les racines
,
……
coïncideront ainsi avec les racines
,
,…
, abstraction faite de l’ordre. Mais en outre, on prouve
facilement que si
est un diviseur de
, et qu’on pose
,
,
, les
nombres
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
——![{\displaystyle [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495b120a49645594b0e587207059eb2391ecc8ac)
,
——![{\displaystyle [h^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f99b9cf6d74deea036a8d4744dfab3b89cf44c8)
.....
——![{\displaystyle [h^{f-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad8d64787fefeaf9355dab53f8d3bab9c21e51b)
sont congrus, suivant le module
, à ceux-ci :
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
——![{\displaystyle [H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d2226487b5eb5f8a607d7233b5825b05775db6)
,
——![{\displaystyle [H^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465532329001b288820f07d147143f7aac78bc58)
.....
——![{\displaystyle [H^{f-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c794681e0005f2a7ee9e55e5df95490183bc150)
sans avoir égard à l’ordre. Supposons en effet
, et soit
un nombre quelconque positif et
, et
le résidu
minimum de
, on aura
, donc
——ou
——![{\displaystyle H^{\mu }\equiv h^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee961385aec9b098fc25e465ef7cdcf3e749e81d)
c’est-à-dire que tout nombre de la première suite
,
,
, etc. est congru à un de ceux de la seconde
,
,
, etc., et réciproquement.
Il suit de là évidemment qu’il y a identité entre les racines
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
-![{\displaystyle [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495b120a49645594b0e587207059eb2391ecc8ac)
,
-![{\displaystyle [h^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f99b9cf6d74deea036a8d4744dfab3b89cf44c8)
.....
-
—et
— ![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
-![{\displaystyle [H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d2226487b5eb5f8a607d7233b5825b05775db6)
,
-![{\displaystyle [H^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465532329001b288820f07d147143f7aac78bc58)
.....
-![{\displaystyle [H^{f-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c794681e0005f2a7ee9e55e5df95490183bc150)
ou plus généralement entre les racines
![{\displaystyle [\lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a54ab3f6292bddd34e7098eb06759e9830394ec)
,
,
, ,…
—et
— ![{\displaystyle [\lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a54ab3f6292bddd34e7098eb06759e9830394ec)
,
![{\displaystyle [\lambda H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc79dfb8e1b174eb46081bf85e339ddd48e419d5)
,
![{\displaystyle [\lambda H^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77630c9124ddb5ba1a85177250799b19eb7f1e2)
,…
![{\displaystyle [\lambda H^{f-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92dde2a425ffc220a6e3ebe0973947903580c92c)
.
Nous désignerons par
la somme de semblables racines, telle que
![{\displaystyle [\lambda ]+[\lambda h]+[\lambda h^{2}]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ab0d42275e26860ae907edab65b2aa587b2441)
, etc.
![{\displaystyle +[\lambda h^{f-1}]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3e7808dbfad0e629c9981750b7d702195ed6bb)
et comme elle ne change pas, lorsque l’on prend pour
une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépendante de
, et l’ensemble de ces racines s’appellera période
, dans laquelle on ne considère pas l’ordre des racines[1].
Pour présenter une pareille période, il sera convenable de
réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple
expression, en remplaçant les nombres
,
,
, etc. par leurs
- ↑ Nous pourrons dorénavant donner à la somme le nom de valeur numérique de la période, ou même celui de période, lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité à craindre.