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ARITHMÉTIQUES.

pourvu que $[\lambda ]$ soit une des racines $\Omega ,$ c’est-à-dire, que $\lambda$ ne soit pas divisible par $n.$ Quant à la période $(f,0)$ ou $(f,kn),$ elle est évidemment composée de $f$ unités. On voit même que si $\lambda$ est un nombre quelconque non-divisible par $n,$ l’ensemble des $e$ périodes

$(f,\lambda )$,——$(f,\lambda g)$, ——$(f,\lambda g^{2})$,——$(f,\lambda g^{3})$,…——$(f,\lambda g^{e-1})$

coïncide encore avec $\Omega .$

Ainsi, par exemple, pour $n=19$ et $f=6,$ $\Omega$ est composé des trois périodes $(6,1),$ $(6,2),$ $(6,4),$ à une desquelles toute autre semblable, excepté $(6,0),$ peut être ramenée.

3^o. Si $n-1$ est le produit des trois nombres positifs $a,$ $b,$ $c,$ il est évident que toute période de $bc$ termes est composée de $b$ périodes dont chacune a $c$ termes, c’est-à-dire que $(bc,\lambda )$ est composée des périodes

$(c,\lambda )$,——$(c,\lambda g^{a})$, ——$(c,\lambda g^{2a})$,…——$(c,\lambda g^{ab-a})\,;$

c’est pourquoi nous dirons que ces dernières sont contenues dans $(bc,\lambda ).$

Ainsi, pour $n=19,$ la période $(6,1)$ est composée des trois $(2,1),$ $(2,8),$ $(2,7),$ dont la première contient les racines $r,$ $r^{18}\,;$ la seconde, $r^{8},$ $r^{11}\,;$ la troisième, $r^{7},$ $r^{12}.$

345. Théorème. Soient $(f,\lambda ),$ $(f,\mu )$ deux périodes semblables, identiques ou différentes, et $[\lambda ],$ $[\lambda '],$ $[\lambda ''],$ etc. les racines qui composent $(f,\lambda )\,;$ le produit de $(f,\lambda )$ par $(f,\mu )$ sera la somme de $f$ périodes semblables, c’est-à-dire,

$=(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda '+\mu )+(f,\lambda ''+\mu )+$, etc. $=W.$.

Soit comme plus haut $n-1=ef,$ $g$ une racine primitive pour le module $n,$ et $h=ge,$ on aura par ce qui précède

$(f,\lambda )=(f,\lambda h)=(f,\lambda h^{2})$, etc. ;

le produit cherché sera donc

$[\mu ].(f,\lambda )+[\mu h].(f,\lambda h)+[\mu h^{2}].(f,\lambda h^{2})+$, etc.,

et partant

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