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RECHERCHES

${\begin{array}{lllll}&[\lambda +\mu ]&+[\lambda h+\mu ]&+[\lambda h^{2}+\mu ]&...+[\lambda h^{f-1}+\mu ]\\+&[\lambda h+\mu h]&+[\lambda h^{2}+\mu h]&+[\lambda h^{3}+\mu h]&...+[\lambda h^{f}+\mu h]\\+&[\lambda h^{2}+\mu h^{2}]&+[\lambda h^{3}+\mu h^{2}]&+[\lambda h^{4}+\mu h^{2}]&...+[\lambda h^{f+1}+\mu h^{2}]\\+&{\text{etc.}}\,\end{array}}$

Cette expression contiendra en tout $f^{2}$ racines, et si l’on prend séparément la somme de chaque colonne verticale, on trouve que la somme totale est, comme nous l’avons annoncé, égale à

$=(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda h+\mu )+(f,\lambda h^{2}+\mu )+...+(f,\lambda h^{f-1}+\mu )\,;$

or $\lambda '\equiv \lambda h,\,\lambda ''\equiv \lambda h^{2},$ etc., suivant le module $n$, et partant

$\lambda '+\mu \equiv \lambda h+\mu ,\,\lambda ''+\mu \equiv \lambda h^{2}+\mu ,+\,{\text{etc.}}\,$

Nous joindrons à ce théorème les corollaires suivans :

1^o. $k$ étant un nombre entier quelconque, le produit de $(f,k\lambda )$ par $(f,k\mu )$ est

$\left(f,k(\lambda +\mu )\right)+\left(f,k(\lambda '+\mu )\right)+\left(f,k(\lambda ''+\mu )\right)+$ etc.

2^o. Comme les différentes parties qui composent $W$ coïncident évidemment avec $(f,0)=n$, ou avec une des périodes

$(f,1),\quad (f,g),\quad (f,g^{2})\dots (f,g^{e-1}),$

il est évident que $W$ peut se ramener à la forme suivante :

$W=af+b(f,1)+b'(f,g)+b''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),$

où les coefficiens $a$, $b$, $b'$, etc. sont entiers et positifs ou quelques-uns $=0$ ; et en outre, que le produit de $(f,k\lambda )$ par $(f,k\mu )$ devient alors

$af+b(f,k)+b'(f,gk)+b''(f,g^{2}k)+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}k).$

Ainsi, pour $n=19$, le produit de la somme $(6,1)$ par elle-même, ou le quarré de cette somme, est

$(6,2)+(6,8)+(6,9)+(6,12)+(6,13)+(6,19),$

ou…………$(6,2)+2(6,1)+(6,2)+2(6,4).$

3^o. Comme le produit de chacun des termes de $W$ par une période semblable $(f,\nu )$ peut être ramené à une forme analogue, il est évident que le produit $(f,\lambda ).(f,\mu ).(f,\nu )$ peut être représenté par