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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/468

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RECHERCHES

cines contenues dans la periode, on ramène cette fonction à la forme

etc.


d’après ce qui a été dit (no 340) ; les racines qui, dans cette expression, appartiendront à une même période quelconque de termes, auront des coefficiens égaux.

Soient, deux racines qui appartiennent à une même période, et supposons et positifs et moindres que il s’agit de démontrer, que et auront dans le même coefficient. Soit encore et nommons les racines contenues dans où nous supposons positifs et moindres que soient enfin les résidus minima positifs des nombres suivant le module seront évidemment identiques avec si l’on ne fait pas attention à l’ordre. Or il suit du no 340, que la fonction

(I)


peut être ramené à la forme


en désignant par . les résidus minima des nombres suivant le module il est évident, d’après cela que aura dans le même coefficient que dans . Mais on voit sans peine que le développement de l’expression (I) donne le même résultat que le développement de l’expression


puisque mais cette expression donne le même résultat que


parceque les nombres ne diffèrent des nombres que relativement à l’ordre, qui n’influe en rien