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ARITHMÉTIQUES.

[\zeta ],\,[\zeta '],\,[\zeta ''],\,{\text{etc.}},\,;\qquad [\eta ],\,[\eta '],\,[\eta ''],\,{\text{etc.}},

et que les nombres $\zeta ,\,\zeta ',\,\zeta '',\,{\text{etc.}},\,\eta ,\,\eta ',\,\eta '',\,{\text{etc.}}$ soient positifs et $<n,$ ce qui est permis ; il est évident qu’ils seront tous différens, et qu’aucun d’eux ne sera $=0.$ Désignons par $Y$ la fonction

x^{\zeta }+x^{\zeta '}+x^{\zeta ''}+

etc.

-x^{\eta }-x^{\eta '}-x^{\eta ''}-\,{\text{etc.}},

dont le terme le plus élevé ne surpassera pas $x^{n-1}\,;$ il est clair qu’on aurait $Y=0,$ si l’on faisait $x=[1]\,;$ donc $Y$ contiendrait le facteur $x-[1],$ qui lui serait commun avec la fonction déjà désignée par $X$ (n^o 339) : or il est facile de démontrer l’absurdité de cette dernière supposition. En effet, si $X$ et $Y$ avaient un diviseur commun, il s’ensuivrait, par la nature de l’opération, qui sert à chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions semblables dont les coefficiens sont rationnels, que ce plus grand commun diviseur aurait tous ses coefficiens rationnels ; car il est d’ailleurs évident qu’il ne peut être du degré $n-1,$ puisque $Y$ est divisible par $x.$ Mais nous avons fait voir (n^o 341) que $X$ ne peut être divisible par une fonction de degré inférieur à $n-1,$ dont les coefficiens soient rationnels, donc on ne peut supposer que l’on ait $N'=0.$

Exemple. Pour $n=19$ et $f=6,$ on a

0=1+p+p'+p'',\qquad p^{2}=6+2p+p'+2p'',

d’où l’on tire …… $p'=4-p^{2},\qquad p''=-5-p+p^{2}$ ;

ainsi

$(6,2)$	$=4$	$-(6,1)^{2}$ ;	—	$(6,4)$	$=-5$	$-(6,1)$	$+(6,1)^{2}$
$(6,4)$	$=4$	$-(6,2)^{2}$ ;	—	$(6,1)$	$=-5$	$-(6,2)$	$+(6,2)^{2}$
$(6,1)$	$=4$	$-(6,4)^{2}$ ;	—	$(6,2)$	$=-5$	$-(6,4)$	$+(6,4)^{2}$ .

347. Théorème. Si $\mathrm {F=\varphi (t,u,v...)}$ est une fonction invariable^[1] algébrique rationnelle et entière de $\mathrm {f}$ indéterminées $\mathrm {t,\,u,\,v} ,$ etc., et qu’en substituant à la place de ces indéterminées les $\mathrm {f}$ ra-

↑ On appelle fonctions invariables celles où toutes les indéterminées entrent de la même manière, ou plus clairement, celles qui ne changent pas, de quelque manière que les indéterminées soient permutées entre elles ; telles sont la somme des indéterminées, leur produit, la somme de leurs produits deux à deux, etc.

[1] On appelle fonctions invariables celles où toutes les indéterminées entrent de la même manière, ou plus clairement, celles qui ne changent pas, de quelque manière que les indéterminées soient permutées entre elles ; telles sont la somme des indéterminées, leur produit, la somme de leurs produits deux à deux, etc.

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