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ARITHMÉTIQUES.

$n-1$, et $\Omega$ sera composé de ${\frac {n-1}{2}}$ périodes de deux termes. Une pareille période, telle par exemple que $(2,\lambda )$, sera formée par les deux racines $[\lambda ]$ et $[\lambda g^{\frac {n-1}{2}}]$, $g$ étant, comme ci-dessus, une racine primitive quelconque suivant le module $n$. Mais $g^{\frac {n-1}{2}}\equiv -1{\pmod {n}}$ ; donc $\lambda g^{\frac {n-1}{2}}\equiv -\lambda$ (n^o 62), et partant, $[\lambda g^{\frac {n-1}{2}}]=[-\lambda ]$ ; donc si l’on suppose $[\lambda ]=\cos {\frac {kP}{n}}+i\,\sin {\frac {kP}{n}}$, et partant, $[-\lambda ]=\cos {\frac {kP}{n}}-i\,\sin {\frac {kP}{n}}$, la somme $(2,\lambda )=2\cos {\frac {kP}{n}}$. Nous nous bornons ici à conclure de là que la valeur de toute période de deux termes est une quantité réelle. Comme d’ailleurs toute période dont le nombre de termes est pair et $=2a$, peut être décomposée en périodes de deux termes, il est clair qu’en général la valeur de toute période dont le nombre de termes est pair, est une quantité réelle. Si donc, dans le n^o 352, on réserve $2$ pour le dernier des facteurs $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., toutes les opérations s’exécuteront sur des quantités réelles, jusqu’à ce qu’on soit arrivé aux périodes de deux termes, et les imaginaires ne s’introduiront, que lorsque l’on voudra passer de ces périodes aux racines elles-mêmes.

356. On doit surtout remarquer les équations auxiliaires par lesquelles on détermine, pour une valeur quelconque de $n$, les sommes des périodes qui forment l’ensemble $\Omega$ : elles sont liées d’une manière étonnante avec les propriétés les plus abstraites du nombre $n$. Mais ici nous restreindrons nos considérations aux deux cas suivans : 1^o  à l’équation du second degré qui donne les sommes des périodes de ${\frac {n-1}{2}}$ termes ; 2^o  quand $n-1$ est divisible par $3$, à l’équation du troisième degré qui donne les sommes des périodes de ${\frac {n-1}{3}}$ termes.

Faisons, pour abréger, ${\frac {1}{2}}(n-1)=m$, et désignons par $g$ une racine primitive quelconque, il sera composé de deux périodes $(m,1)$ et $(m,g)$ ; la première contenant les racines $[1]$, $[g^{2}]$,