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RECHERCHES
,… et la seconde les racines , ,
Supposons que les résidus minima positifs des nombres , ,… suivant le module soient , , , etc., abstraction faite de l’ordre, et que les résidus des nombres , ,…, soient , , , etc. ; les racines des périodes et coïncideront avec
, etc.,
——, etc.
respectivement. Or il est clair que tous les nombres , , ,
, etc. sont résidus quadratiques de ; comme ils sont différens, moindres que et au nombre de , il s’ensuit que ce sont effectivement tous les résidus quadratiques de , positifs et plus petits que lui (no 96). Il suit de là en même temps, que les nombres , , , etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres , , , etc., et qui, joints à ces derniers, épuisent les nombres sont tous les non-résidus quadratiques positifs de et plus petits que lui. Si l’on suppose maintenant que l’équation dont , sont racines, soit
on a
,
——
or (no 345),
et peut parconséquent être mis sous la forme
Pour déterminer les coefficiens , , , observons : 1o. qu’on a
puisque le nombre des périodes de est ;
2o. que (no 350), puisque est une fonction
invariable des sommes et qui composent la période plus grande ; 3o. que tous les nombres , ,
, etc. étant compris entre les limites et , il est clair que nulle période de ne coïncidera avec , ou qu’il
n’y en aura qu’une, par exemple ; on aura donc ou , suivant que sera ou ne sera pas parmi les nombres
, , etc. ; il suit de là que dans le premier cas on aura ,