Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/496

La bibliothèque libre.
Cette page a été validée par deux contributeurs.
474
RECHERCHES


si est une racine qui corresponde à une valeur de première avec , le terme de numéro dans la progression , , , etc. sera , mais tous les autres seront différens de  ; il suit de là que toutes les quantités , , , etc. sont différentes, et comme chacune satisfait à l’équation , elles sont les racines de cette équation.

3o. Enfin dans la même supposition, on a


pour toute valeur de entière et non divisible par  ; en effet cette expression équivaut à , et le numérateur de cette fraction est , tandis que le dénominateur ne l’est pas. Mais quand est divisible par , cette somme est évidemment .

360. Soit, comme dans tout ce qui précède, un nombre premier, une racine primitive pour le module , et les produits de trois nombres entiers positifs , , . Pour abréger, nous comprendrons en même temps dans nos recherches le cas, où l’on aurait ou  ; quand , il faut remplacer , , etc. par , , etc. Supposons donc que les périodes de termes, , , soient connues, et que l’on, veuille en déduire les valeurs des périodes de termes, opération que nous avons réduite plus haut à la résolution d’une équation complète du degré , et qu’il s’agit maintenant de ramener à une équation à deux termes de même degré. Pour abréger, nous représenterons respectivement les valeurs des périodes

par
……… par ……
……… par ……


jusqu’à celles qui composent la période .

1o. Soit une racine indéfinie de l’équation , et