474
RECHERCHES
si
est une racine qui corresponde à une valeur de
première avec
, le terme de numéro
dans la progression
,
,
, etc. sera
, mais tous les autres seront différens de
; il suit de là
que toutes les quantités
,
,
, etc. sont différentes, et comme chacune satisfait à l’équation
, elles sont les racines de cette équation.
3o. Enfin dans la même supposition, on a
![{\displaystyle 1+R^{\lambda }+R^{2\lambda }+R^{3\lambda }+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fbf9a4ac01fe72565a3629a072b32c8cf45e71)
…
![{\displaystyle 1+R^{(e-1)\lambda }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1d1c3aea854aea3870eca7773f3554ed8fbbdc)
pour toute valeur de
entière et non divisible par
; en effet cette expression équivaut à
, et le numérateur de cette fraction est
, tandis que le dénominateur ne l’est pas. Mais quand
est divisible par
, cette somme est évidemment
.
360. Soit, comme dans tout ce qui précède,
un nombre
premier,
une racine primitive pour le module
, et
les produits de trois nombres entiers positifs
,
,
. Pour abréger, nous comprendrons en même temps dans nos recherches le cas, où l’on aurait
ou
; quand
, il faut remplacer
,
, etc. par
,
, etc. Supposons donc que les
périodes de
termes,
,
,
…
soient connues, et que l’on, veuille en déduire les valeurs des périodes de
termes, opération que nous avons réduite plus haut à la résolution d’une équation complète du degré
, et qu’il s’agit maintenant de ramener à une équation à deux termes de même degré. Pour abréger, nous représenterons respectivement les valeurs des périodes
![{\displaystyle (\gamma ,1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fbb8a941334cb2900e40ff9afbf6b723bc9417) |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d991388ba25cecfc5b9af674df940bf22de0737c) |
… |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baff5b0409a63516baff1d1fe09b2b9dd0ce6c51) |
—par— |
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1) |
![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64) |
… |
|
![{\displaystyle (\gamma ,g),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a2695277f314dd74aa1841793b6bb94fd7d16) |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha +1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e613fd272db82e1ab92ccd07ec9b4de7ec53e79) |
……… |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha +1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da3e505710e9010f1d3ac0348b0bb5bcc7dfb71) |
—par— |
![{\displaystyle a',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05a49df2e92f2cdc842f7aa3b156376d22ffd4a) |
![{\displaystyle b',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07157eaea1e9c4b66912f2ae6fa79e5b24853096) |
…… |
|
![{\displaystyle (\gamma ,g^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c479b595d2fd25bf3311f60365c7d1821a16c74d) |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha +2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eb8d24b3d80f1219a3864e970268cc778ed17d) |
……… |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha +2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0213abdc46174fe9e3442be1462d5069a94f7c) |
—par— |
![{\displaystyle a'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a2f32c6938238c4a8e9b709a00c6299106f9c9) |
![{\displaystyle b'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542c3e5f1b4f0f7bf25f553d67eab79169feffcb) |
…… |
|
jusqu’à celles qui composent la période
.
1o. Soit
une racine indéfinie de l’équation
, et