assez compliqué, nous n’avons pas voulu le supprimer, tant à cause de l’élégance de la solution, que parceque les artifices qu’il nous a donné occasion d’employer peuvent être d’une très-grande utilité dans d’autres problèmes.
359. Les recherches précédentes avaient pour but de trouver les équations auxiliaires ; nous allons maintenant exposer sur leur résolution une propriété digne de remarque. On sait que tous les travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution générale des équations qui passent le premier degré, ou pour mieux définir l’objet de la recherche, contre la réduction des équations complètes à des équations à deux termes, et il est à peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d’impossible, plutôt qu’il ne surpasse les forces actuelles de l’analyse. (Voyez ce que nous avons dit sur ce sujet dans le Mémoire intitulé Demonstratio nova, etc. p. 22). Il est certain néanmoins qu’il y a une infinité d’équations composées dans chaque degré, qui admettent une telle induction, et nous espérons faire plaisir aux géomètres, en prouvant que nos équations auxiliaires sont toujours dans ce cas. Mais à cause de l’étendue du sujet, nous ne présenterons que les principes les plus importans qui sont nécessaires pour démontrer cette possibilité, différant à un autre temps l’exposition plus complète. Nous mettrons en avant quelques observations générales sur les racines de l’équation , en comprenant le cas où est un nombre composé.
1o. Ces racines sont données, comme on le sait, par les élémens, par la formule
dans laquelle on doit prendre pour e les nombres , , , … ou d’autres nombres quelconques congrus avec eux. Une seule racine est , celle que l’on obtient en faisant , ou plus généralement ; mais à toute autre valeur de répondra une valeur de différente de .
2o. Comme on a
