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RECHERCHES

$\beta b$	$=R^{\beta -1}t$	$+R^{\beta -2}t'$	$+R^{\beta -3}t''$	+ etc.,
$\beta c$	$=R^{2\beta -2}t$	$+R^{2\beta -4}t'$	$+R^{2\beta -6}t''$	+ etc.,
$\beta d$	$=R^{3\beta -3}t$	$+R^{3\beta -6}t'$	$+$ etc.,	+ etc.,

Parmi les nombreuses observations relatives à la recherche précèdente, nous ne nous arrêterons que sur une seule.

On voit facilement que $T$ obtient le plus souvent une valeur imaginaire de la forme $P+iQ$, desorte que la solution de l’équation dépend de la division en $\beta$ parties, 1^o d’un angle dont la tangente est ${\frac {Q}{P}}$ ; 2^o d’un rapport qui est celui de $1$ à ${\sqrt {(P^{2}+Q^{2})}}$ ; et il est digne de remarque que la valeur de ${\sqrt[{\beta }]{(P^{2}+Q^{2})}}$ peut toujours s’exprimer rationnellement par des quantités déjà connues, desorte que l’on n’a besoin que de la division de l’angle et de l’extraction d’une racine quarrée (nous ne faisons qu’indiquer cette remarque, que nous ne pouvons détailler ici), par exemple, pour $\beta =3$ on n’a besoin que de la trisection de l’angle, tandis que pour la plupart des équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, on ne peut éviter d’employer la trisection de l’angle et du rapport.

Enfin, comme rien n’empêche que nous ne supposions $\alpha =1$, $\gamma =1$, et partant $\beta =n-1$, il est évident que la solution de l’équation $x^{n}-1=0$ peut être réduite à la solution de l’équation à deux termes du degré $n-1$, $x^{n-1}-T=0$ où $T$ se déterminera par les racines de l’équation $x^{n-1}-1=0$. D’où il résulte, à l’aide de l’observation que nous venons de faire, que la division du cercle en $n$ parties exige :

1^o . La division du cercle en $n-1$ parties ;

2^o . La division en $n-1$ parties d’un arc qui peut se construire, lorsque la première division est faite ;

3^o . Enfin l’extraction d’une racine quarrée, et l’on peut prouver que cette racine est toujours ${\sqrt {n}}$.

361. Il nous reste à examiner de plus près la liaison qui existe entre les racines $\Omega$ et les fonctions trigonométriques des