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ARITHMÉTIQUES.

angles

${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{n}}.$

La méthode que nous avons exposée pour trouver les racines $\Omega$, laisse de l’incertitude sur celles de ces racines qui répondent à ces différens angles, c’est-à-dire, sur celle que l’on doit égaler à $\cos {\frac {P}{n}}+i\,\sin {\frac {P}{n}}$, celle que l’on doit égaler à $\cos {\frac {2P}{n}}+i\,\sin {\frac {2P}{n}}$, etc., à moins que l’on ne fasse usage des tables de sinus, ainsi que nous l’avons indiqué, ce qui peut ne pas sembler assez direct. Mais cette incertitude disparaît aisément, si l’on fait attention que les cosinus des angles

${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{2n}},$

vont continuellement en décroissant, pourvu que l’on tienne compte du signe, et que les sinus sont positifs, tandis que pour les angles

${\frac {(n-1)P}{n}},\,{\frac {(n-2)P}{n}},\,{\frac {(n-3)P}{n}}......{\frac {(n+1)P}{2n}},$

qui ont mêmes cosinus que les premiers, les sinus sont tous négatifs, quoique de même grandeur que les autres. Ainsi, parmi les racines $\Omega$, les deux qui ont même partie réelle et pour lesquelles cette partie est la plus grande, répondront aux angles ${\frac {P}{n}}$ et ${\frac {(n-1)P}{n}}$, savoir, au premier celle où la quantité imaginaire est positive, au second celle où elle est négative. Parmi les $n-3$ autres racines, les deux qui auront la plus grande partie réelle répondront aux angles ${\frac {2P}{n}}$, ${\frac {(n-2)P}{n}}$, et ainsi de suite. D’ailleurs, aussitôt que l’on connaît la racine à laquelle répond l’angle ${\frac {P}{n}}$, on pourra distinguer les autres, en remarquant que si on la désigne par $[\lambda ]$, aux angles ${\frac {2P}{n}}$, ${\frac {3P}{n}}$, ${\frac {4P}{n}}$, etc. répondront évidemment les racines $[2\lambda ]$, $[3\lambda ]$, $[4\lambda ]$, etc. Ainsi dans l’exemple du n^o 353, on voit sur-le-champ qu’il n’y a pas d’autre racine que $[11]$ qui puisse répondre à l’angle ${\frac {1}{19}}P$, et à l’angle ${\frac {18}{19}}P$ la racine $[8]$. De même aux angles ${\frac {2}{19}}P,$ ${\frac {17}{19}}P,$ ${\frac {3}{19}}P,$ ${\frac {16}{19}}P,$ etc. répondent les racines $[3],$ $[16],$ $[14],$ $[5],$ etc. Dans