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ARITHMÉTIQUES

1^o. Rassemblons les résidus minima positifs de tous les termes, $1,$ $a,$ $a^{2},$ $a^{3},\dots$$a^{t-1},$ et désignons-les par $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ etc. desorte qu’on ait $\alpha \equiv 1,$ $\alpha '\equiv a,$ $\alpha ''\equiv a^{2}$ etc. Il est visible qu’ils seront tous différens ; car si deux termes $a^{m},$ $a^{n},$ donnaient les mêmes résidus, on aurait $a^{m-n}\equiv 1$ (en supposant $m>n$ et $m-n<t$ ce qui est absurde, puisque $a^{t}$ est la plus petite puissance de $a$ congrue à l’unité. Au reste tous les nombres $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ etc., sont compris dans la série $1,$ $2,$ $3,$ $4\dots$ $p-1,$ série qu’ils n’épuisent pas lorsque $t<p-1.$ Nous désignerons par $(A)$ la somme de tous ces résidus, et $(A)$ comprendra un nombre $t$ de termes.

2^o. Prenons un nombre quelconque $\beta ,$ parmi ceux de la série $1,$ $2,$ $3\dots$ $p-1$ qui manquent dans $(A).$ Multiplions $\beta$ par $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ etc. et nommons $\beta ,$ $\beta ',$ $\beta '',$ etc. les résidus minima qui en proviendront, et qui seront aussi en nombre $t$. Ces résidus seront différens entr’eux , et différeront des nombres $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ etc. En effet, si la première assertion était fausse, on aurait $\beta a^{m}\equiv \beta a^{n},$ d’où l’on tire, en divisant par $\beta ,$ $a^{m}\equiv a^{n}\ :$ ce qui est contre ce que nous venons de démontrer : si la dernière l’était, on aurait $\beta a^{m}\equiv a^{n}\ ;$ d’où quand $n>m,$ $\beta \equiv a^{n-m},$ c’est-à-dire que $\beta$ serait congru à quelqu’un des nombres $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ etc. : ce qui est contre l’hypothèse ; mais si $n<m,$ on aura, en multipliant par $a^{t-m},$ $\beta a'\equiv a^{t+n-m}$ ou, comme $a^{t}\equiv 1,$ $\beta \equiv a^{t-(m-n)},$ d’où résulte la même absurdité. Désignons par $(B)$ la somme des nombres $\beta ,$ $\beta ',$ $\beta '',$ etc. qui sont en nombre $t\ ;$ on aura déjà $2t$ nombres parmi ceux-ci $1,$ $2,$ $3,$… $p-1.$ Donc si $(A)$ et $(B$) épuisent cette série, on aura $t={\frac {p-1}{2}}.$

3^o. Mais s’il en manque quelques-uns, soit $\gamma$ un de ceux-là. Multiplions $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ etc. par $\gamma ,$ et soient $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma '',$ etc. les résidus minima de ces produits, dont nous désignerons l’ensemble par $(C)\ ;$ $(C)$ comprendra $t$ nombres pris dans la série $1,$ $2,$ $3$… $p-1$ qui seront tous différens entr’eux et non-compris dans $(A)$ et $(B)$. Les deux premières assertions se démontrent comme ci-dessus (2^o) ; quant à la troisième, si l’on avait $\gamma a^{m}\equiv \beta a^{n},$ on en tirerait $\gamma \equiv \beta a^{n-m},$ ou $\gamma \equiv \beta a^{t-(m-n}$, suivant que $m<n$ ou $>n.$ Dans l’un ou l’autre cas $\gamma$ serait congru à quelqu’un des nombres qui composent $(B)\ ;$ ce qui serait contre l’hypothèse. On aura ainsi $3t$

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