33
ARITHMÉTIQUES
1o. Rassemblons les résidus minima positifs de tous les termes,
et désignons-les par etc. desorte qu’on
ait etc. Il est visible qu’ils seront tous différens ; car si deux termes donnaient les mêmes résidus, on
aurait (en supposant et ce qui est
absurde, puisque est la plus petite puissance de congrue à
l’unité. Au reste tous les nombres etc., sont compris
dans la série série qu’ils n’épuisent pas
lorsque Nous désignerons par la somme de tous ces
résidus, et comprendra un nombre de termes.
2o. Prenons un nombre quelconque parmi ceux de la série
qui manquent dans Multiplions par etc. et nommons etc. les résidus minima qui
en proviendront, et qui seront aussi en nombre . Ces résidus seront
différens entr’eux , et différeront des nombres etc. En effet,
si la première assertion était fausse, on aurait d’où l’on tire,
en divisant par ce qui est contre ce que nous venons
de démontrer : si la dernière l’était, on aurait d’où
quand c’est-à-dire que serait congru à quelqu’un des nombres etc. : ce qui est contre l’hypothèse ; mais
si on aura, en multipliant par ou, comme
d’où résulte la même absurdité. Désignons
par la somme des nombres etc. qui sont en nombre
on aura déjà nombres parmi ceux-ci … Donc
si et ) épuisent cette série, on aura
3o. Mais s’il en manque quelques-uns, soit un de ceux-là.
Multiplions etc. par et soient etc. les résidus minima de ces produits, dont nous désignerons l’ensemble
par comprendra nombres pris dans la série …
qui seront tous différens entr’eux et non-compris dans
et . Les deux premières assertions se démontrent comme ci-dessus (2o) ; quant à la troisième, si l’on avait on en
tirerait ou , suivant que ou Dans l’un ou l’autre cas serait congru à quelqu’un des nombres qui
composent ce qui serait contre l’hypothèse. On aura ainsi
E