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RECHERCHES

nombres pris dans la série $1$ , $2$ , $3$ … $p-1$ , et s’il n’en reste plus, $t={\frac {p-1}{3}}$ , conformément au théorême.

4^o. Mais s’il en reste encore quelques-uns, on arrivera de même à une quatrième somme de nombres $(D)$ , etc. ; et comme la série $1$ , $2$ , $3$ , etc. $p-1$ est finie, on voit que l’on parviendra nécessairement à l’épuiser, et $p-1$ sera un multiple de $t$ ; donc $t$ sera une partie aliquote de $p-1$ .

50. Puisque ${\frac {p-1}{t}}$ est un nombre entier, il suit qu’en élevant chaque membre de la congruence $a^{t}\equiv 1{\pmod {p}}$ à la puissance ${\frac {p-1}{t}}$ , on aura $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ ; c’est-à-dire, que $a^{p-1}-1$ sera toujours divisible par $\mathrm {p}$ quand $\mathrm {p}$ est premier et qu’il ne divise pas $\mathrm {a.}$

Ce théorême remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s’appelle ordinairement théorême de Fermat, du nom de l’inventeur, (Fermatii opera Math. Tolosœ 1679. Fol. p. 163) Fermat n’en a pas donné la démonstration, bien qu’il ait assuré qu’il l’avait trouvée. Euler en a le premier publié une dans la Dissertation intitulée : Démonstration de quelques théorèmes relatifs aux nombres premiers. (Comm. Ac. Pétrop. T. VIII)^[1] ; elle est tirée du développement de $(a+1)^{p}$ qui fait voir par la forme des coefficiens, que $(a+1)^{p}-a^{p}-1$ est toujours divisible par $p$ , et que parconséquent $(a+1)^{p}-(a+1)$ le sera si $a^{p}-a$ l’est. Or comme $1^{p}-1$ est divisible par $p$ , $2^{p}-2$ le sera donc ; et partant $3^{p}-3$ , et généralement $a^{p}-a$ . Donc si $p$ ne divise pas $a$ , on aura aussi $a^{p-1}-1$ divisible par $p$ . Ce que nous venons de dire suffit pour faire connaître l’esprit de la démonstration.

↑ Antérieurement (Comm. Petr. T. VI. p. 106) ce grand homme n’était pas parvenu encore au but. Dans la fameuse discussion entre Maupertuis et Konig, sur le principe de la moindre action, discussion qui les jeta dans des digressions étrangères, Konig assura qu’il avait entre les mains un manuscrit autographe de Leibnitz, qui contenait une démonstration de ce théorème conforme à celle d’Euler (Appel au Public. p. 106). Quoique nous ne voulions pas refuser de croire à ce témoignage, il est sûr cependant que Leibnitz n’a jamais publié sa démonstration. (Voyez Hist, de l’Acad. de Berlin. 1750. p. 530).

[1] Antérieurement (Comm. Petr. T. VI. p. 106) ce grand homme n’était pas parvenu encore au but. Dans la fameuse discussion entre Maupertuis et Konig, sur le principe de la moindre action, discussion qui les jeta dans des digressions étrangères, Konig assura qu’il avait entre les mains un manuscrit autographe de Leibnitz, qui contenait une démonstration de ce théorème conforme à celle d’Euler (Appel au Public. p. 106). Quoique nous ne voulions pas refuser de croire à ce témoignage, il est sûr cependant que Leibnitz n’a jamais publié sa démonstration. (Voyez Hist, de l’Acad. de Berlin. 1750. p. 530).

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