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RECHERCHES

positif ; ainsi nous avons à rechercher comment les nombres $1,\ 2,\ 3\dots$ $p-1$ doivent être distribués sous ce point de vue, relativement aux facteurs de $p-1.$ Pour abréger, si $d$ est un des facteurs de $p-1,$ entre lesquels on doit compter $1$ et $p-1,$ nous représenterons par $\psi d$ la multitude des nombres positifs plus petits que $p,$ dont la puissance $d$ est la plus petite qui soit congrue à l’unité.

53. Pour nous faire entendre plus facilement, nous présenterons d’abord un exemple. Soit $p=19,$ les nombres $1,\ 2,\ 3\dots 18$ peuvent se distribuer de la manière suivante relativement aux diviseurs de $18\ :$

$1\ :$	$1,$
$2\ :$	$18,$
$3\ :$	$7,$	$11,$
$6\ :$	$8,$	$12,$
$9\ :$	$4,$	$5,$	$6,$	$9,$	$16,$	$17,$
$18\ :$	$2,$	$3,$	$10,$	$13,$	$14,$	$15.$

Ainsi dans ce cas $\psi 1=1,$ $\psi 2=1,$ $\psi 3=2,$ $\psi 6=2,$ $\psi 9=6,$ $\psi 18=6.$ Avec une légère attention on voit qu’il y en a, relativement à chaque exposant, autant qu’il y a de nombres premiers avec cet exposant et non plus grands que lui, ou bien, en reprenant le signe du n^o 40, que $\psi d=\varphi d.$ Mais on peut démontrer généralement cette observation de la manière suivante :

1^o . S’il y a un nombre $a$ appartenant à l’exposant $d,$ c’est-à-dire dont la puissance $d$ soit congrue à l’unité, et les puissances inférieures incongrues, toutes les puissances de ce nombre, savoir $a,$ $a^{2},$ $a^{3},$ $a^{4}\dots$ $a^{d}$ ou leurs résidus minima, auront leur puissance $d$ congrue avec l’unité ; et comme cela peut s’exprimer en disant que les résidus minima des nombres $a,$ $a^{2},$ $a^{3},\dots$ $a^{d}$ qui sont tous différens sont les racines de la congruence qui ne peut avoir plus de $d$ racines différentes, il est évident qu’il n’y a pas de nombres autres que les résidus minima de $a,$ $a^{2},$ $a^{3},\dots$ $a^{d}$ dont les puissances $d$ soient congrues à l’unité ; d’où il suit que les nombres appartenans à l’exposant $d$ se trouvent tous entre les résidus minima des nombres $a,$ $a^{2},$ $a^{3},\dots$ $a^{d}.$ On déterminera comme il suit quels ils sont et quel est leur nombre. Si $k$ est un nombre premier avec $d,$ toutes les puissances de $a^{k},$ dont les exposans sont $<d$ ne seront pas congrues à l’unité. Soit en effet ${\frac {1}{k}}{\pmod {d}}\equiv m$ (voyez n^o 31), on aura $a^{km}\equiv a\ ;$ donc si la