36
RECHERCHES
positif ; ainsi nous avons à rechercher comment les nombres
doivent être distribués sous ce point de vue,
relativement aux facteurs de Pour abréger, si est un
des facteurs de entre lesquels on doit compter et
nous représenterons par la multitude des nombres positifs plus
petits que dont la puissance est la plus petite qui soit congrue
à l’unité.
53. Pour nous faire entendre plus facilement, nous présenterons d’abord un exemple. Soit les nombres
peuvent se distribuer de la manière suivante relativement aux
diviseurs de
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ainsi dans ce cas Avec une légère attention on voit qu’il y en a, relativement à chaque exposant, autant qu’il y a de nombres premiers
avec cet exposant et non plus grands que lui, ou bien, en reprenant
le signe du no 40, que Mais on peut démontrer généralement cette observation de la manière suivante :
1o. S’il y a un nombre appartenant à l’exposant c’est-à-dire
dont la puissance soit congrue à l’unité, et les puissances inférieures incongrues, toutes les puissances de ce nombre, savoir
ou leurs résidus minima, auront leur puissance congrue avec l’unité ; et comme cela peut s’exprimer en
disant que les résidus minima des nombres qui
sont tous différens sont les racines de la congruence qui ne
peut avoir plus de racines différentes, il est évident qu’il n’y a
pas de nombres autres que les résidus minima de
dont les puissances soient congrues à l’unité ; d’où il suit que
les nombres appartenans à l’exposant se trouvent tous entre les
résidus minima des nombres On déterminera
comme il suit quels ils sont et quel est leur nombre. Si est un
nombre premier avec toutes les puissances de dont les
exposans sont ne seront pas congrues à l’unité. Soit en
effet (voyez no 31), on aura donc si la