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ARITHMÉTIQUES

de ${\sqrt[{n}]{A}}$ sera aussi une valeur de ${\sqrt[{\delta }]{A^{t}}}$ ; et toutes les fois que ${\sqrt[{n}]{A}}$ aura des valeurs réelles, elle sera absolument équivalente à l’expression ${\sqrt[{\delta }]{A^{t}}}$, puisqu’elle ne peut avoir de valeurs différentes, ni en moindre nombre. Il est vrai cependant que ${\sqrt[{\delta }]{A^{t}}}$ peut avoir des valeurs réelles, sans que pour cela ${\sqrt[{n}]{A}}$ en ait nécessairement.

Exemple. Si l’on cherche les valeurs de l’expression ${\sqrt[{21}]{2}}{\pmod {31}}$, le plus grand commun diviseur des nombres $21$ et $30$ est $3$, et $3$ est une valeur de ${\frac {3}{21}}{\pmod {30}}$ ; donc si ${\sqrt[{21}]{2}}$ a des valeurs réelles, elle équivaudra à l’expression ${\sqrt[{3}]{2^{3}}}$ ou ${\sqrt[{3}]{8}}$ ; on trouve effectivement que les valeurs de la dernière qui sont $2$, $10$ et $19$, satisfont aussi à la première.

64. Mais afin de ne pas entreprendre inutilement cette opération, il est nécessaire de chercher le caractère auquel on pourra reconnaître si ${\sqrt[{n}]{A}}$ admet ou non des valeurs réelles. Si on a une table d’indices la chose est facile, car (n^o 60) ${\sqrt[{n}]{A}}$ aura des valeurs réelles quand $\operatorname {Ind.} A$ sera divisible par $\delta$, en prenant pour base une racine primitive quelconque, et dans le cas contraire elle n’en aura pas ; mais on peut aussi le découvrir sans le secours de cette table. Soit en effet $k=\operatorname {Ind.} A$, si $k$ est divisible par $\delta$, ${\frac {k(p-1)}{\delta }}$ sera divisible par $p-1$ et réciproquement ; mais l’indice du nombre $A^{\frac {p-1}{\delta }}$ est ${\frac {k(p-1)}{\delta }}$ ; donc si ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {p}}$ a des valeurs réelles, $A^{\frac {p-1}{\delta }}$ sera congru à l’unité ; sinon, il sera incongru. Ainsi dans l’exemple de l’article précédent, on a a $2^{10}\equiv 1024\equiv 1{\pmod {31}}$, d’où l’on conclut que l’expression ${\sqrt[{21}]{2}}{\pmod {31}}$ a des valeurs réelles. De même nous voyons par là que ${\sqrt[{2}]{-1}}{\pmod {p}}$ a toujours deux valeurs réelles, quand $p$ est de la forme $4m+1$, et n’en a aucune quand $p$ est de la forme $4m+3$, car $(-1)^{2m}=1$ et $(-1)^{2m+1}=-1$. Ce théorème élégant qui