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ARITHMÉTIQUES
de
sera aussi une valeur de
; et toutes les fois que
aura
des valeurs réelles, elle sera absolument équivalente à l’expression
, puisqu’elle ne peut avoir de valeurs différentes, ni en moindre nombre. Il est vrai cependant que
peut avoir des valeurs réelles, sans que pour cela
en ait nécessairement.
Exemple. Si l’on cherche les valeurs de l’expression
,
le plus grand commun diviseur des nombres
et
est
, et
est une valeur de
; donc si
a des valeurs réelles, elle équivaudra à l’expression
ou
;
on trouve effectivement que les valeurs de la dernière qui sont
,
et
, satisfont aussi à la première.
64. Mais afin de ne pas entreprendre inutilement cette opération,
il est nécessaire de chercher le caractère auquel on pourra reconnaître si
admet ou non des valeurs réelles. Si on a une table
d’indices la chose est facile, car (no 60)
aura des valeurs
réelles quand
sera divisible par
, en prenant pour base
une racine primitive quelconque, et dans le cas contraire elle n’en
aura pas ; mais on peut aussi le découvrir sans le secours de cette
table. Soit en effet
, si
est divisible par
,
sera divisible par
et réciproquement ; mais l’indice du
nombre
est
; donc si
a des valeurs
réelles,
sera congru à l’unité ; sinon, il sera incongru. Ainsi
dans l’exemple de l’article précédent, on a a
,
d’où l’on conclut que l’expression
a
des valeurs réelles. De même nous voyons par là que
a toujours deux valeurs réelles, quand
est de la forme
, et n’en a aucune quand
est de la forme
, car
et
. Ce théorème élégant qui