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RECHERCHES

que celles où $n$ est diviseur du module diminué de l’unité. Mais nous ferons voir plus bas que les congruences de cette forme peuvent encore s’abaisser davantage, quoique ce qui précède ne suffise pas pour cela. Il y a cependant un cas que nous pouvons traiter ici à fond, celui où $n=2.$ Il est évident en effet que les valeurs de l’expression ${\sqrt[{2}]{1}}{\pmod {p}}$ seront $+1$ et $-1,$ puisqu’elle n’en peut avoir plus de deux, et que $+1$ et $-1$ sont incongrus, à moins que le module ne soit $=2$, cas auquel il est clair que ${\sqrt {2}}$ n’aurait qu’une seule valeur. Il suit de là que $+1$ et $-1$ sont aussi les valeurs de l’expression ${\sqrt[{2m}]{1}}{\pmod {p}},$ quand $m$ est premier avec ${\frac {p-1}{2}}$ ce qui arrivera toujours lorsque le module sera tel que ${\frac {p-1}{2}}$ soit un nombre absolument premier ; par exemple, quand $p=3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $23,$ etc., à moins que $p-1=2m,$ cas auquel tous les nombres $1,$ $2,$ $3\dots$ $p-1$ sont racines. Remarquons, comme conséquence, que l’indice de $-1$ est toujours $\equiv {\frac {p-1}{2}}{\pmod {p-1}},$ quelle que soit la racine primitive que l’on prenne pour base ; car $2\operatorname {Ind.} (-1)\equiv 0{\pmod {p-1}}\,;$ donc $\operatorname {Ind.} (-1)$ sera $\equiv 0$ ou $\equiv {\frac {p-1}{2}}\,;$ mais $0$ est toujours l’indice de $+1,$ et $+1$ et $-1$ doivent avoir des indices différens, excepté dans le cas où $p=2,$ qu’il n’est pas nécessaire de considérer.

63. Nous avons fait voir (n^o 61) que l’expression ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {p}}$ a $\delta$ valeurs différentes ou n’en a absolument aucune, si $\delta$ est le plus grand commun diviseur des nombres $n$ et $p-1.$ Or de même que nous avons trouvé que ${\sqrt[{n}]{A}}$ et ${\sqrt[{\delta }]{A}}$ étaient équivalentes quand on a $A\equiv 1,$ nous prouverons plus généralement que l’expression ${\sqrt[{n}]{A}}$ peut toujours être ramenée à une autre ${\sqrt[{\delta }]{B}},$ à laquelle elle est équivalente. Soit en effet $x^{n}\equiv A,$ et $t$ une valeur quelconque de l’expression ${\frac {\delta }{n}}{\pmod {p-1}}$ qui aura toujours (n^o 31) des valeurs réelles. De la congruence $x^{n}\equiv A$ on déduit $x^{tn}\equiv A^{t}\,;$ mais à cause de $tn\equiv \delta {\pmod {p-1}},$ $x^{tn}\equiv x^{\delta }\,;$ donc $x^{\delta }\equiv A^{t}.$ Ainsi une valeur quelconque