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ARITHMÉTIQUES
qu’en effet, si
est un des nombres de la suite, comme
et
que
, on aura
et partant
. Il est aisé
de juger que toutes ces valeurs sont différentes (no 23) ; donc l’expression
ne peut avoir d’autres valeurs, puisqu’elle ne peut en avoir plus de
. Par exemple, si une valeur de
est
, l’autre
sera
. On doit conclure de ce qui précède, que l’on ne peut trouver toutes les valeurs de
, à moins qu’on ne puisse avoir toutes celles de
.
66. La seconde recherche que nous nous étions proposée, consiste à déterminer le cas où l’on peut trouver directement une
valeur de l’expression
, dans laquelle
est diviseur
de
. Cela arrive quand il y a une valeur congrue à une puissance de
, et comme ce cas est très-fréquent, il ne sera pas déplacé
de s’y arrêter un instant. Soit
cette valeur, si elle existe, on aura
et
; donc
et si l’on peut déterminer
de manière que cette condition soit remplie,
sera la
valeur cherchée ; mais la condition précédente revient à celle-ci
,
étant l’exposant auquel
appartient. Or pour que
cette congruence soit possible, il faut que
soit premier avec
, et
dans ce cas on aura
; si au contraire
et
ont un
diviseur commun, aucune valeur de
ne sera congrue à une
puissance de
.
67. Mais comme il est nécessaire pour cette solution de connaître
, voyons comment il faut procéder quand on ne le connaît
pas. On voit d’abord facilement que
doit être diviseur de
,
lorsque
a des valeurs réelles, ce que nous supposons
ici. Soit en effet
l’une quelconque de ces valeurs, on aura (no 50)
, et
; en élevant à la puissance
les
deux membres de la congruence
, on aura
d’ailleurs
; donc
(no 48). Or si
est