47
ARITHMÉTIQUES
qu’en effet, si est un des nombres de la suite, comme et
que , on aura et partant . Il est aisé
de juger que toutes ces valeurs sont différentes (no 23) ; donc l’expression ne peut avoir d’autres valeurs, puisqu’elle ne peut en avoir plus de . Par exemple, si une valeur de est , l’autre
sera . On doit conclure de ce qui précède, que l’on ne peut trouver toutes les valeurs de , à moins qu’on ne puisse avoir toutes celles de .
66. La seconde recherche que nous nous étions proposée, consiste à déterminer le cas où l’on peut trouver directement une
valeur de l’expression , dans laquelle est diviseur
de . Cela arrive quand il y a une valeur congrue à une puissance de , et comme ce cas est très-fréquent, il ne sera pas déplacé
de s’y arrêter un instant. Soit cette valeur, si elle existe, on aura
et ; donc et si l’on peut déterminer de manière que cette condition soit remplie, sera la
valeur cherchée ; mais la condition précédente revient à celle-ci
, étant l’exposant auquel appartient. Or pour que
cette congruence soit possible, il faut que soit premier avec , et
dans ce cas on aura ; si au contraire et ont un
diviseur commun, aucune valeur de ne sera congrue à une
puissance de .
67. Mais comme il est nécessaire pour cette solution de connaître , voyons comment il faut procéder quand on ne le connaît
pas. On voit d’abord facilement que doit être diviseur de ,
lorsque a des valeurs réelles, ce que nous supposons
ici. Soit en effet l’une quelconque de ces valeurs, on aura (no 50)
, et ; en élevant à la puissance les
deux membres de la congruence , on aura
d’ailleurs ; donc (no 48). Or si est