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ARITHMÉTIQUES.

méditations, nous espérons qu’on ne nous désapprouvera pas d’offrir encore ici une autre manière de démontrer ce théorème.

77. Nous dirons que deux nombres sont associés, comme l’a fait Euler, lorsque leur produit sera congru à l’unité. Cela posé, par la section précédente, tout nombre positif moindre que $p$, aura toujours un nombre associé moindre que $p$ et il n’en aura qu’un ; or il est facile de prouver que parmi les nombres $1,\ 2,\ 3,\ldots \ p-1,$ il n’y a que $1$ et $p-1$ qui soient eux-mêmes leurs associés, car ceux qui jouiront de cette propriété seront donnés par la congruence $x^{2}\equiv 1$ qui ne peut avoir que deux racines $1$ et $p-1$. Supprimant donc ces deux nombres, les autres $2,\ 3,\ 4,\ldots \ p-2,$, seront associés deux à deux ; donc leur produit sera $\equiv 1$ ; enfin multipliant par $p-1$, le produit de tous $1.2.3.4\ldots \ p-1\equiv p-1\equiv -1$.

Par exemple, pour $p=13$, les nombres $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ldots 11$ s’associent de la manière suivante : $2$ avec $7,\ 3$ avec $9,\ 4$ avec $10$, $5$ avec $8$, $6$ avec $11$ ; donc $2.3.4\ldots 11\equiv 1$, et partant $1.2.3...12\equiv 12\equiv -1$.

78. Le théorème de Wilson peut être rendu plus général en l’énonçant comme il suit : Le produit de tous les nombres premiers avec un nombre donné $\mathrm {A}$ et moindres que ce nombre, est congru suivant $\mathrm {A}$, à l’unité prise positivement ou négativement. L’unité doit être prise négativement quand $A$ est de la forme $p^{m}$ ou $2p^{m}$, $p$ étant un nombre premier différent de $2$, ou encore quand $A=4$, et positivement dans tous les autres cas. Le théorème de Wilson est contenu dans le premier cas. Exemple. Pour $A=15$, le produit des nombres $1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 11,\ 13,\ 14,\ {\text{est}}\ \equiv 1{\pmod {15}}.$ Nous supprimons, pour abréger, la démonstration. Nous observerons seulement qu’on peut y parvenir comme dans l’article précédent, excepté que la congruence $x^{2}\equiv 1$ peut avoir plus de deux racines, ce qui demande certaines considérations particulières. On pourrait aussi la tirer de la considération des indices, comme dans le n^o 75, si l’on y joint ce que nous dirons tout à l’heure des modules composés.

79. Revenons à l’énumération des autres propositions (n^o 75).

La somme de tous les termes de la période d’un nombre quelconque est $\equiv 0$.

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