58
RECHERCHES
Ainsi dans l’exemple du no 75
Soit le nombre dont il s’agit, et l’exposant auquel il appartient.
La somme de tous les termes de la période sera……
; or
donc aussi si n’est pas divisible par il faut donc
excepter ce cas, si nous voulons regarder même un seul terme
comme une période.
80. Le produit de toutes les racines primitives est excepté
le cas où car alors il n’y a qu’une racine primitive
Si l’on prend pour base une racine primitive quelconque, les
indices de toutes les racines primitives seront des nombres premiers
avec et moindres que lui ; mais la somme de tous ces nombres, c’est-à-dire l’indice du produit de toutes les racines primitives, est donc le produit est
En effet on voit facilement que si est un nombre premier avec
, le sera aussi, et que parconséquent la somme des
nombres premiers avec est composée de couples dont la somme
est divisible par Il est bon d’observer que ne peut être
égal à à moins que ne soit premier avec ce
qui exige que ou cas que nous exceptons.
81. La somme des racines primitives est quand est
divisible par un quarré, ou quand est le produit de
facteurs premiers inégaux. Le signe appartenant au cas où le
nombre de ces facteurs est pair, le signe au cas où il est impair.
Ex. 1o. Pour on a les racines primitives dont
la somme 2o. Pour les racines primitives
sont dont la somme 3o. Pour
les racines primitives sont
dont la somme
Nous avons démontré plus haut (no 55, 2o) que si l’on a
etc., et que etc. soient des nombres quelconques qui appartiennent aux exposans etc. respectivement, tous les produits etc. seront des racines primitives ;