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RECHERCHES

Ainsi dans l’exemple du n^o 75

$1+5+12+8=26\equiv 0{\pmod {13}}.$

Soit $a$ le nombre dont il s’agit, et $t$ l’exposant auquel il appartient. La somme de tous les termes de la période sera……

$\equiv 1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{t-1}\equiv {\frac {a^{t}-1}{a-1}}{\pmod {p}}$ ; or $a^{t}-1\equiv 0,$

donc aussi ${\frac {a^{t}-1}{a-1}}\equiv 0,$ si $a-1$ n’est pas divisible par $p\,;$ il faut donc excepter ce cas, si nous voulons regarder même un seul terme comme une période.

80. Le produit de toutes les racines primitives est $\equiv 1,$ excepté le cas où $p=3,$ car alors il n’y a qu’une racine primitive $2.$

Si l’on prend pour base une racine primitive quelconque, les indices de toutes les racines primitives seront des nombres premiers avec $p-1$ et moindres que lui ; mais la somme de tous ces nombres, c’est-à-dire l’indice du produit de toutes les racines primitives, est $\equiv 0{\pmod {p-1}}\,;$ donc le produit est $\equiv 1{\pmod {p}}.$ En effet on voit facilement que si $k$ est un nombre premier avec $p-1$, $p-1-k$ le sera aussi, et que parconséquent la somme des nombres premiers avec $p-1$ est composée de couples dont la somme est divisible par $p-1.$ Il est bon d’observer que $k$ ne peut être égal à $p-1-k,$ à moins que ne soit premier avec $p-1\,;$ ce qui exige que $p-1=2$ ou $p=3,$ cas que nous exceptons.

81. La somme des racines primitives est $\equiv 0$ quand $p-1$ est divisible par un quarré, ou $\equiv \pm 1$ quand $p-1$ est le produit de facteurs premiers inégaux. Le signe $+$ appartenant au cas où le nombre de ces facteurs est pair, le signe $-$ au cas où il est impair.

Ex. 1^o. Pour $p=13,$ on a les racines primitives $2,$ $6,$ $7,$ $11$ dont la somme $26\equiv 0{\pmod {13}}.$ 2^o. Pour $p=11,$ les racines primitives sont $2,$ $6,$ $7,$ $8,$ dont la somme $23\equiv +1{\pmod {11}}.$ 3^o. Pour $p=31,$ les racines primitives sont $5,$ $11,$ $12,$ $13,$ $17,$ $21,$ $22,$ $24,$ dont la somme $123\equiv -1{\pmod {31}}.$

Nous avons démontré plus haut (n^o 55, 2^o) que si l’on a $p-1=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc., et que $A,$ $B,$ $C$ etc. soient des nombres quelconques qui appartiennent aux exposans $a^{\alpha },$ $b^{\beta },$ $c^{\gamma },$ etc. respectivement, tous les produits $ABC$ etc. seront des racines primitives ;