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RECHERCHES
à
, etc. suivant le module
, d’où il résultera que le nombre de
toutes les racines sera
ou
, comme nous l’avons avancé. Cela
posé, nous allons démontrer que
1o. Si
est une racine congrue à
, suivant le module
,
,
,
…
, seront
aussi des racines.
2o. Aucun nombre congru avec
ne pourra être racine, s’il
n’est de la forme
,
étant un nombre entier quelconque ;
d’où il suit qu’on aura
racines différentes, et qu’on n’en aura pas
davantage ; la même chose aura lieu par rapport à
,
, etc.
3o. Nous ferons voir comment on peut toujours trouver une racine
congrue à
suivant le module
.
86. Théorème. Si
est comme dans l’article précèdent un nombre divisible par
et non par
on aura
et
. La seconde
partie du théorème n’a pas lieu quand
et
.
On pourrait déduire la démonstration de ce théorème du développement de la puissance d’un binôme, si on faisait voir que tous les
termes, après le second, sont divisibles par
mais comme
la considération des dénominateurs des coefficiens jette dans quelque
embarras, nous préférons la méthode suivante :
Supposons d’abord
et
, on a généralement
; donc
mais on a
; donc chaque terme
, etc. sera
, et parconséquent la
somme de tous
, ou bien cette somme sera de la
forme
,
étant un nombre quelconque. Donc
sera de la forme
, c’est-à-dire
qu’il sera
et
. Ainsi,
pour ce cas, le théorème est démontré.