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ARITHMÉTIQUES.

Or si le théorème n’était pas vrai pour les autres valeurs de $\nu$, $\mu$ restant $>1,$ il y aurait nécessairement une limite jusqu’à laquelle le théorème serait vrai, et passé laquelle il serait faux. Soit $\varphi$ la plus petite valeur de $\nu$ qui se refuse au théorème. On voit facilement que le théorème est vrai si $t$ est divisible par $p^{\varphi -1}$ et non par $p^{\varphi }\,;$ mais que si l’on substitue $tp$ à la place de $t,$ il ne l’est plus. On a donc $(\alpha +hp^{\nu })^{t}\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}hp^{\mu }t{\pmod {p^{\mu +\varphi }}},$ ou $=\alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}hp^{\mu }t+up^{\mu +\varphi },$ $u$ étant un nombre entier quelconque ; mais comme le théorème est déjà démontré pour $\nu =1,$ on aura $\left(\alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}hp^{\mu }t+up^{\mu +\varphi }\right)^{p}\equiv \alpha ^{tp}+\alpha ^{tp-1}hp^{\mu +1}t+\alpha ^{tp-1}up^{\mu +\varphi +1}{\pmod {p^{\mu +\varphi +1}}},$ et partant $(\alpha +hp^{\mu })^{tp}\equiv \alpha ^{tp}+\alpha ^{tp-1}hp^{\mu }tp{\pmod {p^{\mu +\varphi +1}}}\,;$ c’est-à-dire que le théorème est encore vrai si on substitue $tp$ au lieu de $t$ ou $\varphi +1$ au lieu de $\varphi ,$ contre l’hypothèse ; donc le théorème est vrai pour toutes les valeurs de $\nu .$

87. Il reste le cas où $\mu =1.$ Par une méthode absolument semblable à celle de l’article précédent, on démontrera, sans faire usage du développement du binôme, que

$(\alpha +hp)^{t-1}$	$\equiv$	$\alpha ^{t-1}+\alpha ^{t-2}(t-1)hp{\pmod {p^{2}}}$
$\alpha (\alpha +hp)^{t-2}$	$\equiv$	$\alpha ^{t-1}+\alpha ^{t-2}(t-2)hp{\pmod {p^{2}}}$
$\alpha ^{2}(\alpha +hp)^{t-3}$	$\equiv$	$\alpha ^{t-1}+\alpha ^{t-2}(t-3)hp{\pmod {p^{2}}}$, etc. ;

donc (puisque le nombre des termes est $t$) la somme sera $\equiv t\alpha ^{t-1}+{\frac {(t-1)t}{2}}\alpha ^{t-2}hp{\pmod {p^{2}}}\,;$ mais, comme $t$ est divisible par $p$, ${\frac {(t-1)t}{2}}$ le sera aussi, excepté le cas où $p=2$, que nous avons exclu, et dans les autres cas, la somme sera $\equiv t\alpha ^{t-1}{\pmod {p^{2}}},$ puisque ${\frac {(t-1)t}{2}}\alpha ^{t-2}hp$ est divisible par $p^{2}.$ Le reste de la démonstration est comme dans l’article précédent.

Il résulte de là généralement qu’en exceptant le cas où $p=2,$ on a $(\alpha +hp^{\mu })^{t}\equiv \alpha ^{t}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ et $(\alpha +hp^{\mu })$ non $\equiv \alpha ^{t}$ pour un module qui est une puissance de $p$ plus haute que $p^{\mu +\nu }$, pourvu toutefois