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RECHERCHES

dule $p^{n}\,;$ or on déduit sans peine du n^o 86 que si on élevait ce nombre à une puissance de degré moindre, le résultat serait incongru à l’unité. Ainsi tout nombre de la forme $\pm 1+4h,$ où $h$ est impair, c’est-à-dire tout nombre de la forme $8k+3$ ou $8k+5,$ appartient à l’exposant $p^{n-2}.$

91. Il suit de là qu’il n’y a pas dans ce cas-ci de racines primitives, dans le sens que nous avons donné à cette expression, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de nombres dont la période renferme tous les nombres premiers avec le module, et plus petits que lui ; mais on voit facilement qu’il arrive ici quelque chose d’analogue. En effet toute puissance impaire d’un nombre de la forme $8k+3$ est elle-même de la forme $8k+3$, et toute puissance paire est de la forme $8k+1$ ; donc aucune ne peut être de la forme $8k+5$ ou $8k+7\,;$ donc comme la période d’un nombre de la forme $8k+3$ est composée de $2^{n-2}$ termes differens, dont chacun est de la forme $8k+1$ ou $8k+3,$ et qu’il n’y a pas plus de $2^{n-2}$ de ces nombres qui soient plus petits que le module, il est évident que tout nombre de la forme $8k+1$ ou $8k+3$ est congru suivant le modules $2^{n}$, à une puissance d’un nombre quelconque de la forme $8k+3.$ On peut faire voir de la même manière que la période d’un nombre de la forme $8k+5$ comprend tous les nombres de la forme $8k+1$ et $8k+5.$ Si donc on prend pour base un nombre de la forme $8k+5$, on trouvera des indices réels pour tous les nombres de la forme $8k+1$ et $8k+5$ pris positivement, et pour tous les nombres de la forme $8k+3$ et $8k+7$ pris négativement : on doit encore regarder comme équivalens les indices congrus suivant $2^{n-2}.$ C’est ainsi qu’on doit entendre la table I, dans laquelle pour les modules $16,$ $32$ et $64$ (car il n’y a besoin d’aucune table pour le module $8),$ nous avons toujours pris $5$ pour base. Par exemple, le nombre $19,$ qui doit être pris négativement, puisqu’il est de la forme $8n+3,$ a pour le module $64$ l’indice $7$, ce qui signifie que $5^{7}\equiv -19{\pmod {64}}.$ Si l’on prenait négativement les nombres de la forme $8n+1$ et $8n+5,$ et positivement ceux de la forme $8n+3$ et $8n+7,$ il faudrait leur donner des indices pour ainsi dire imaginaires ; en les introduisant dans le calcul des indices, on le réduirait à un algorithme très-simple ; mais comme nous serions conduits trop loin si nous voulions traiter ce sujet en toute rigueur, nous réservons