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RECHERCHES

et les autres nombres moindres que ces modules sont non-résidus.

98. Theorème. Le produit de deux résidus quadratiques d’un nombre premier $p$ est un résidu ; le produit d’un résidu et d’un non-résidu est non-résidu ; enfin le produit de deux non-résidus est résidu.

1^o . Soient $A$ et $B$ les résidus qui proviennent des quarrés $a^{2},$ $b^{2},$ ou soient $A\equiv a^{2}{\pmod {p}}$ et $B\equiv b^{2},$ on aura $AB\equiv a^{2}b^{2},$ c’est-à-dire qu’il sera un résidu.

2^o . Quand $A$ est résidu, ou que $A\equiv a^{2}$ , mais que $B$ est non-résidu, $AB$ est non-résidu. Soit en effet, s’il se peut $AB\equiv k^{2}$ et ${\frac {k}{a}}{\pmod {p}}\equiv b,$ on aura $a^{2}B\equiv a^{2}b^{2},$ et partant $B\equiv b^{2}$ contre l’hypothèse.

Autrement. Si l’on multiplie par $A$ les ${\frac {p-1}{2}}$ nombres de la suite $1,\,2,\,3,\dots \,p-1,$ qui sont résidus, tous les produits seront des résidus quadratiques, et ils seront tous incongrus. Or si l’on multiplie par $A$ un nombre $B$ non-résidu, le produit ne sera congru à aucun des précédens ; donc, s’il était résidu, il y aurait ${\frac {1}{2}}(p+1)$ résidus incongrus, parmi lesquels ne serait pas $0$ , ce qui est impossible (n^o 96)

3^o . Soient $A$ et $B$ deux nombres non-résidus, en multipliant par $A$ tous les nombres qui sont résidus dans la suite $1,\,2,\,3,\dots \,p-1,$ on aura ${\frac {p-1}{2}}$ non-résidus incongrus entr’eux (2^o). Or le produit $AB$ ne peut être congru à aucun de ceux-là ; donc s’il était non-résidu, on aurait ${\frac {p+1}{2}}$ non-résidus incongrus entr’eux ; ce qui est impossible (n^o 96).

Ces théorèmes se déduisent encore plus facilement des principes de la section précédente. En effet, puisque l’indice d’un résidu est toujours pair, et celui d’un non-résidu toujours impair, l’indice du produit de deux résidus ou non-résidus sera pair, et partant, le produit sera lui-même un résidu. Au contraire, si l’un des facteurs est non-résidu, et l’autre résidu, l’indice sera impair, et le produit non-résidu.

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