On peut aussi faire usage des deux méthodes pour démontrer ce théorème : la valeur de l’expression , sera un résidu, quand les nombres et seront tous les deux résidus ou non-résidus. Elle sera un non-résidu, quand l’un des nombres et sera résidu et l’autre non-résidu. On le démontrerait encore en renversant les théorèmes précédens.
99. Généralement, le produit de tant de facteurs qu’on voudra est un résidu, soit lorsque tous les facteurs en sont eux-mêmes, soit lorsque le nombre de facteurs non-résidus est pair ; mais quand le nombre des facteurs non-résidus est impair, le produit est non-résidu. On peut donc juger facilement si un nombre composé est résidu ou non ; pourvu qu’on sache ce que sont ses différens facteurs. Aussi dans la table II, nous n’avons admis que les nombres premiers. Quant à sa disposition, les modules sont en marge[1], en tête les nombres premiers successifs ; quand l’un de ces derniers est résidu, on a placé un trait dans l’espace qui correspond au module et à ce nombre ; quand il est non-résidu, on a laissé l’espace vide.
100. Avant de passer à des sujets plus difficiles, nous devons dire un mot des modules composés.
Si l’on prend pour module la puissance d’un nombre premier , étant , une moitié des nombres non-divisible par et seront des résidus, et l’autre des non-résidus ; c’est-à-dire qu’il y en aura de chaque espèce.
En effet, si r est un résidu, il sera congru à un quarré dont la racine ne surpasse pas la moitié du module (no 94) ; et l’on voit facilement qu’il y a nombres et non divisible par . Ainsi il reste à démontrer que les quarrés de tous ces nombres sont incongrus, ou qu’ils donnent des résidus différens. Or si deux nombres et non-divisibles par et plus petits que la moitié du module, avaient leurs quarrés congrus, on
- ↑ On verra bientôt comment on peut se passer des modules composés.
