Parmi les divers cas dans lesquels a lieu cette condition d’orthogonalité, tient le premier rang celui où toutes les lignes de l’un ou l’autre système, par exemple du premier, sont des lignes de plus courte distance. Là, en effet, pour une valeur constante de l’angle devient zéro ; d’où l’équation qu’on vient de donner pour la variation de montre qu’on doit avoir ou que le coefficient doit être indépendant de c’est-à-dire que doit être ou constant ou fonction seulement de Le plus simple sera d’adopter pour la longueur même de chaque ligne du premier système, et même chaque fois que toutes les lignes du premier système concourent en un point, de compter cette longueur de ce point, ou, s’il n’y a pas de commune intersection, d’une ligne quelconque du second système. Ceci compris, on voit que et désignent maintenant les mêmes quantités que, dans les art. XV, XVI, nous avions exprimées par et , et qu’on Ainsi, les deux formules précédentes se transforment en celles-ci :
ou, en posant
Généralement parlant, sera fonction de et l’expression de l’élément d’une ligne quelconque, du second système. Mais dans le cas particulier où toutes les lignes partent du même point, évidemment, pour on doit avoir donc si, dans ce cas, nous adoptons pour l’angle même que le premier élément d’une ligne quelconque du premier système fait avec l’élément de
