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REPRÉSENTATION CONFORME
Si l’on pose ici
![{\displaystyle {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\operatorname {tang} u\ =\ \operatorname {tang} w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0249a272d0f3b46df9947c72940cd1d4a57f70c0)
où, en faisant l’application au sphéroïde terrestre,
représentera la latitude géographique et
la longitude, cette
équation se transforme en
![{\displaystyle 0=dt\mp idd{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w)\sin w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73d22545c39fc5b6cbb67ae69b969b79577b75d)
dont l’intégration donne
![{\displaystyle {\text{Const.}}=t\pm i\log \left[\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d9f0370505742c3a7b3cad7bd4f3b889faaef6)
On doit donc,
désignant une fonction arbitraire, prendre
pour
la partie réelle et pour
la partie imaginaire de
![{\displaystyle f\left(t+i\log \left[\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }\right]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9b813fba947cbba8be8ef219ffaffded7d5442)
Si l’on choisit pour
une fonction linéaire, c’est à dire
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =kt,\qquad \mathrm {Y} =k\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w-{\frac {1}{2}}k\varepsilon \log \left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bf556f474c2727ddb634e6ab6f9a25e3570355)
ce qui fournit une projection analogue à celle de Mercator.
Si l’on prend au contraire pour
une fonction exponentielle
imaginaire
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\mathrm {X} &&=k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon \lambda }\cos \lambda t,\\&\mathrm {X} &&=k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon \lambda }\sin \lambda t,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc29613b03d51be12faee5e861938f37c43b6872)
ce qui, pour
fournit une projection analogue à la projection
polaire [polarprojection]) stéréographique, qui en géné-