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C.-F. GAUSS
ral est très avantageuse pour la représentation d’une partie de
la surface de la terre au cas où on veut tenir compte de l’aplatissement.
Pour ce qu’il reste à dire de l’autre cas où
il serait facile, il est vrai, de le déduire de ce qui précède où, en
conservant les mêmes notations, epsilon est imaginaire, mais où
sera encore réel.
Mais, pour être complet, indiquons encore en particulier les
formules relatives à ce cas, et posons tout d’abord
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1}}=\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de79c401e2f9b959e22fe38eca2b4319b13fcb7f)
On doit alors déterminer
à l’aide de l’équation
![{\displaystyle {\sqrt {1+\eta ^{2}}}\operatorname {tang} u=\operatorname {tang} w,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85bc18b8b2c4d65c8c99f67e4714660a0cf861da)
et l’équation différentielle
![{\displaystyle 0=dt\mp idw{\frac {1+\eta ^{2}}{(1+\eta ^{2}\cos ^{2}w)\sin w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a00a3ce3796d69b378cabda96a76aca1622b328)
donnera l’intégrale
![{\displaystyle {\text{Const.}}=t\pm \left[\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w+\eta \ \operatorname {arc\ tang} (\eta \cos w)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5816c636dc5e37dbde9a5d219fc8e350004d7c9)
en sorte que l’on devra prendre pour
la partie réelle et pour
la partie imaginaire de
![{\displaystyle f\left(t+i\left[\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w+\eta \ \operatorname {arc\ tang} (\eta \cos w)\right]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d312ab454f9547491afb25f2780e0374d27974b)
On en déduit immédiatement les analogues des deux applications
particulières considérées plus haut. Pour la première
on devra poser ici
![{\displaystyle \mathrm {X} =kt,\qquad \mathrm {Y} =k\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{w}}+\eta k\operatorname {arctang} (\eta \cos w),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61cf56e08d41d7d6dc601815afe0d433af3d3ca)