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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

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Quoique dans le cas où très-peu de lieux géocentriques seulement doivent être déterminés d’après les éléments donnés, il soit à peine avantageux d’employer tous les artifices développés ci-dessus, à l’aide desquels on peut passer immédiatement de l’anomalie excentrique à la latitude et à la longitude géocentriques, ou même à l’ascension droite et à la déclinaison, puisque les avantages qui en résultent seraient absorbés par la multitude de quantités auxiliaires à calculer préalablement ; néanmoins, la combinaison de la réduction à l’écliptique avec le calcul de la longitude et de la latitude offrira un avantage qu’il ne faut pas mépriser. Si, en effet, on emploie pour plan des coordonnées $z$ l’écliptique même, et que les pôles des plans relatifs aux coordonnées $x,$ $y$ soient situés par une longitude ${\text{☊ }},$ $90+{\text{☊ }}$, les coordonnées sont facilement déterminées sans aucune nécessité de quantités auxiliaires.

On aura, en effet,

${\begin{aligned}x&=r\cos u\\[0.75ex]y&=r\cos i\sin u\\[0.75ex]z&=r\sin i\sin u\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {R} '\cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\\\mathrm {Y} &=\mathrm {R} '\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\\\mathrm {Z} &=\mathrm {R} '\operatorname {tang} \mathrm {B} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}x-\mathrm {X} &=\Delta '\cos(l-{\text{☊ }})\\y-\mathrm {Y} &=\Delta '\sin(l-{\text{☊ }})\\z-\mathrm {Z} &=\Delta '\operatorname {tang} b\end{aligned}}$

Toutes les fois que $\mathrm {B} =0$, on a $\mathrm {R} '=\mathrm {R}$ et $\mathrm {Z} =0$.

D’après ces formules, notre exemple est résolu par les nombres suivants : $\mathrm {L} -{\text{☊ }}=213^{\circ }12'0''\!,32.$

$\log r\,............$	0,3259877		$\log \mathrm {R} '...........$	9,9980979
$\log \cos u........$	9,9824141$n$		$\log \cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})..$	9,9226027$n$
$\log \sin u\,........$	9,4454714$n$		$\log \sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\,..$	9,7384353$n$
$\log x............$	0,3084018$n$		$\log \mathrm {X} ............$	9,9207006$n$
$\log r\sin u........$	9,7714591$n$
$\log \cos i.........$	9,9885266
$\log \sin i\,.........$	9,3557570
$\log y............$	9,7599857$n$		$\log \mathrm {Y} ............$	9,7365332$n$
$\log z............$	9,1272161$n$		$\mathrm {Z} ={}$	0

De là, on a

$\log(x-\mathrm {X} )........$	0,0795906$n$
$\log(y-\mathrm {Y} )........$	8,4807165$n$
d’où $\;\;(l-{\text{☊ }})={}$ 181° 26′ 33,49″n.			$l={}$ 352° 34′ 22,22″n
$\log \Delta '\,............$	0,0797283
$\log \operatorname {tang} b\,.........$	9,0474878$n$		$b=-$ 6° 21′ 55,06″n