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LIVRE I, SECTION II.

le lieu vrai de la Terre formeront un autre triangle dont les côtés seront $\Delta ,$ $\mathrm {R} ,$ $r\,:$ c’est pourquoi, si les angles opposés sont respectivement désignés par $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {T}$ et $180^{\circ }\!-\mathrm {S} -\mathrm {T}$, on aura

${\frac {\sin \mathrm {S} }{\Delta }}={\frac {\sin \mathrm {T} }{\mathrm {R} }}={\frac {\sin(\mathrm {S} +\mathrm {T} )}{r}}.$

Le plan de ce triangle déterminera, dans la sphère céleste, un grand cercle dans lequel le lieu héliocentrique de la Terre, le lieu héliocentrique de l’astre et son lieu géocentrique seront situés, et de telle sorte que la distance du second au premier, du troisième au second et du troisième au premier, comptés selon la même direction, seront respectivement $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {T} ,$ $(\mathrm {S} +\mathrm {T} ).$

IV. Les équations différentielles suivantes sont obtenues soit au moyen des variations différentielles connues d’un triangle plan, soit aussi facilement, à l’aide des formules de l’art. 62 :

${\begin{aligned}dl&={\frac {r'\cos(\lambda -l)}{\Delta '}}\,d\lambda +{\frac {\sin(\lambda -l)}{\Delta '}}\,dr',\\[1ex]d\Delta '&=-r'\sin(\lambda -l)\,d\lambda +\cos(\lambda -l)\,dr',\\[1ex]db&={\frac {r'\cos b\sin b\sin(\lambda -l)}{\Delta '}}\,d\lambda +{\frac {r'\cos ^{2}b}{\Delta '\cos ^{2}\beta }}\,d\beta \\&+{\frac {\cos ^{2}b}{\Delta '}}\left[\operatorname {tang} \beta -\cos(\lambda -l)\operatorname {tang} b\right]\,dr',\end{aligned}}$

où les termes qui contiennent $dr',$ $d\Delta '$ doivent être multipliés par 206265, ou les autres divisés par ce nombre, si les variations angulaires sont exprimées en secondes.

V. Le problème inverse, c’est-à-dire la détermination du lieu héliocentrique, au moyen du lieu géocentrique, est entièrement analogue au problème développé ci-dessus ; il serait donc superflu de s’en occuper davantage. Toutes les formules de l’art. 62, en effet, s’appliquent aussi à ce problème, pourvu que toutes les quantités qui concernent la position héliocentrique de l’astre soient remplacées par celles qui se rapportent à la position géocentrique, qu’à la place de $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {B}$ on substitue respectivement $180^{\circ }\!+\mathrm {L} ,$ $-\mathrm {B} ,$ ou, ce qui est la même chose, qu’à la place du lieu héliocentrique de la Terre on considère le lieu géocentrique du Soleil.