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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

${\begin{alignedat}{3}d\alpha &={\frac {\sin \mathrm {E} \cos b}{\cos \delta }}\,dl&{}-{}&{\frac {\cos \mathrm {E} }{\cos \delta }}\,db,\\[0.5ex]d\delta &=\cos \mathrm {E} \cos b\,dl&{}+{}&\sin \mathrm {E} \,db.\end{alignedat}}$

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On peut déduire une autre méthode, pour résoudre le même problème, des équations

${\begin{aligned}\cos \varepsilon \sin l&=\sin \varepsilon \operatorname {tang} b+\cos l\operatorname {tang} \alpha \\\sin \delta &=\cos \varepsilon \sin b+\sin \varepsilon \cos b\sin l\\\cos b\cos l&=\cos \alpha \cos \delta .\end{aligned}}$

L’angle auxiliaire $\theta$ est déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} \theta ={\frac {\operatorname {tang} b}{\sin l}},$

et l’on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \alpha &={\frac {\cos(\varepsilon +\theta )\operatorname {tang} l}{\cos \theta }},\\[0.5ex]\operatorname {tang} \delta &=\sin \alpha \operatorname {tang} (\varepsilon +\theta ),\end{aligned}}$

équations auxquelles on peut ajouter, pour la confirmation du calcul,

$\cos \delta ={\frac {\cos b\cos l}{\cos \alpha }}$,  ou $\cos \delta ={\frac {\cos(\varepsilon +\theta )\cos b\cos l}{\cos \theta \sin \alpha }}$,

L’ambiguïté qui se présente dans la détermination de $\alpha$ par la seconde équation est levée par cette considération, que $\cos \alpha$ et $\cos l$ doivent avoir les mêmes signes.

Cette méthode est moins prompte si, en outre de $\alpha$ et $\delta ,$ on désire aussi $\mathrm {E} .$ La formule la plus commode pour la détermination de cet angle sera alors

$\cos \mathrm {E} ={\frac {\sin \varepsilon \cos \alpha }{\cos b}}={\frac {\sin \varepsilon \cos l}{\cos \delta }}$.

Mais $\mathrm {E}$ ne peut être calculé exactement par cette relation toutes les fois que $\pm \cos \mathrm {E}$ diffère peu de l’unité ; de plus, il existera l’incertitude de savoir s’il faut prendre $\mathrm {E}$ entre 0° et 180°, ou entre 180° et 360°. Le premier inconvénient est rarement de quelque importance, surtout puisque pour calculer les expressions différentielles, on n’a pas be-