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LIVRE I, SECTION II.

soin d’une précision extrême dans la valeur de $\mathrm {E}$ ; mais cette incertitude est facilement écartée au moyen de l’équation

$\cos b\cos \delta \sin \mathrm {E} =\cos \varepsilon -\sin b\sin \delta$,

qui fait voir que l’on doit prendre $\mathrm {E}$ entre 0° et 180° ou entre 180° et 360°, selon que $\cos \varepsilon$ est plus grand ou plus petit que $\sin b\sin \delta$. Il est évident que cet examen n’est pas nécessaire toutes les fois que l’un ou l’autre des angles $b$ et $\delta$ ne dépasse pas la limite 66° 32′ ; alors $\sin \mathrm {E}$ sera, en effet, toujours positif. Au reste, la même équation indiquée dans le cas précédent pourra être employée pour une détermination plus exacte de $\mathrm {E}$, si on le trouve avantageux.

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La solution du problème inverse, c’est-à-dire, la détermination de la longitude et de la latitude d’après l’ascension droite et la déclinaison, est obtenue par le même triangle sphérique ; c’est pourquoi, les formules développées ci-dessus seront disposées dans ce but par la seule permutation de $\delta$ en $b$ et de $-\alpha$ en $l$. À cause de leur fréquent usage, on ne se repentira pas de placer ici ces formules.

D’après la méthode de l’art. 66, nous aurons

${\begin{aligned}\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} -l)=\cos \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon +\delta )\right)\\\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} -l)=\sin \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon -\delta )\right)\\\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} +l)=\sin \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon -\delta )\right)\\\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} +l)=\cos \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon +\delta )\right)\end{aligned}}$

Au contraire, ainsi que dans l’autre méthode, art. 67, nous déterminerons l’angle auxiliaire $\zeta$ par l’équation

$\operatorname {tang} \zeta ={\frac {\operatorname {tang} \delta }{\sin \alpha }}$,

et l’on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} l&={\frac {\cos(\zeta -\varepsilon )\operatorname {tang} \alpha }{\cos \zeta }}\\\operatorname {tang} b&=\sin l\operatorname {tang} (\zeta -\varepsilon ).\end{aligned}}$