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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

TROISIÈME SECTION.

RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

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La comparaison de deux ou plusieurs positions d’un corps céleste, soit dans son orbite, soit dans l’espace, fournit une telle abondance de propositions élégantes, qu’elles rempliraient facilement le volume entier. Notre but ne tend pas assurément à épuiser ce sujet fécond, mais principalement à en retirer des ressources importantes pour la solution du grand problème de la détermination des orbites inconnues, d’après les observations ; c’est pourquoi, en négligeant les questions qui seraient trop étrangères à notre but, nous développerons le plus soigneusement toutes celles qui, de quelque manière, peuvent y conduire. Nous faisons précéder ces recherches de quelques propositions trigonométriques auxquelles il faudra très-souvent avoir recours, puisqu’elles sont plus habituellement employées.

I. En désignant par $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C}$ des angles quelconques, on a

${\begin{aligned}\sin \mathrm {A} \sin(\mathrm {C} -\mathrm {B} )+\,\sin \mathrm {B} \sin(\mathrm {A} -\mathrm {C} )+\sin \mathrm {C} \sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )&=0,\\\cos \mathrm {A} \sin(\mathrm {C} -\mathrm {B} )+\cos \mathrm {B} \sin(\mathrm {A} -\mathrm {C} )+\cos \mathrm {C} \sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )&=0.\end{aligned}}$

II. Si deux quantités $p,\,\mathrm {P}$ doivent être déterminées par des équations telles que

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {P} )&=b,\end{aligned}}$

ceci s’obtiendra généralement par le secours des formules

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\sin(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=b\sin(\mathrm {H} -\mathrm {A} )-a\sin(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\cos(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=b\cos(\mathrm {H} -\mathrm {A} )-a\cos(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {H}$ est un angle arbitraire. De là se déduiront (art. 14, II) l’angle $(\mathrm {H} -\mathrm {P} ),$ et $p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\,;$ et de là $\mathrm {P}$ et $p$. La plupart du temps il est ajouté la condition que $p$ doit être une quantité positive, d’où se trouve écartée l’ambiguïté qui résulte de la détermina-