116
LIVRE I, SECTION III.
86
En désignant par
le rayon vecteur indéterminé ou variable qui
répond à l’anomalie vraie
l’aire du secteur décrit par le
corps céleste dans le temps
, sera
, cette intégrale étant
prise depuis
jusqu’à
et par suite, en prenant
avec
sa signification de l’art. 6, on a
Il est actuellement évident, d’après les formules développées par Cotes, que si
exprime une fonction quelconque de
des valeurs de plus en plus
approchées de l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
s’obtiendront par les formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\Delta \left[\varphi u+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{6}}\Delta \left[\varphi u+4\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{2}}\Delta \right)+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{8}}\Delta \left[\varphi u+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{3}}\Delta \right)+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {2}{3}}\Delta \right)+\varphi (u+\Delta )\right]+{\text{etc.}},\,{\text{etc.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f872efa64e265ad48c6e93b8eeb3fc259374bd45)
Il suffira, pour notre but, de s’arrêter aux deux premières formules.
Par la première, nous avons donc, dans notre problème,
![{\displaystyle \int \rho ^{2}dv={\frac {1}{2}}\Delta (r^{2}+r'^{2})={\frac {\Delta rr'}{\cos 2\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dce8f94ad79497702dac26bfa12e4ae7e155a16)
,
si nous posons
![{\displaystyle {\frac {r'}{r}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb76af5026fd49d275165c82a2efe4bccbde2d5f)
.
C’est pourquoi, la première valeur approchée de
sera
que nous posons
.
Par la seconde formule, nous avons plus exactement
![{\displaystyle \int \rho ^{2}dv={\frac {1}{6}}\Delta (r^{2}+r'^{2}+4\mathrm {R} ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8bc073fd4857482e203a37f318684331d5cf74)
,