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LIVRE I, SECTION III.

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En désignant par $\rho$ le rayon vecteur indéterminé ou variable qui répond à l’anomalie vraie $v-\Pi ,$ l’aire du secteur décrit par le corps céleste dans le temps $t$, sera ${\frac {1}{2}}\int \rho ^{2}dv$, cette intégrale étant prise depuis $v=\mathrm {N}$ jusqu’à $v=\mathrm {N} ',$ et par suite, en prenant $k$ avec sa signification de l’art. 6, on a $kt{\sqrt {\overset {}{p}}}=\int \rho ^{2}dv.$ Il est actuellement évident, d’après les formules développées par Cotes, que si $\varphi x$ exprime une fonction quelconque de $x,$ des valeurs de plus en plus approchées de l’intégrale $\int \varphi x.dx,$ prise depuis $x=u$ jusqu’à $x=u+\Delta$ s’obtiendront par les formules

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\Delta \left[\varphi u+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{6}}\Delta \left[\varphi u+4\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{2}}\Delta \right)+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{8}}\Delta \left[\varphi u+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{3}}\Delta \right)+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {2}{3}}\Delta \right)+\varphi (u+\Delta )\right]+{\text{etc.}},\,{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Il suffira, pour notre but, de s’arrêter aux deux premières formules.

Par la première, nous avons donc, dans notre problème,

$\int \rho ^{2}dv={\frac {1}{2}}\Delta (r^{2}+r'^{2})={\frac {\Delta rr'}{\cos 2\omega }}$,

si nous posons

${\frac {r'}{r}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )$.

C’est pourquoi, la première valeur approchée de ${\sqrt {\overset {}{p}}}$ sera ${\frac {\Delta rr'}{kt\cos \omega }}\,;$ que nous posons $=3\alpha$.

Par la seconde formule, nous avons plus exactement

$\int \rho ^{2}dv={\frac {1}{6}}\Delta (r^{2}+r'^{2}+4\mathrm {R} ^{2})$,