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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

en désignant par $\mathrm {R}$ le rayon vecteur qui correspond à l’anomalie intermédiaire ${\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi .$

En exprimant maintenant $p,$ en fonction de $r,$ $\mathrm {R} ,$ $r',$ $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\Delta ,$ $\mathrm {N} +\Delta ,$ d’après les formules données dans l’article 82, nous trouvons

$p={\frac {4\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta \sin {\dfrac {1}{2}}\Delta }{\left({\dfrac {1}{r}}+{\dfrac {1}{r'}}\right)\sin {\dfrac {1}{2}}\Delta -{\dfrac {1}{\mathrm {R} }}\sin \Delta }},$

et de là

${\begin{aligned}{\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta }{\mathrm {R} }}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}\right)-{\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta }{p}}\\&={\frac {\cos \omega }{\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}-{\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta }{p}}.\end{aligned}}$

En posant donc,

${\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{\cos \omega }}=\delta ,$

il vient

$\mathrm {R} ={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{\cos \omega \left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)}},$

d’où l’on obtient la seconde valeur approchée de ${\sqrt {\overset {}{p}}}$,

${\sqrt {\overset {}{p}}}=\alpha +{\frac {2\alpha \cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\Delta \cos ^{2}2\omega }{\cos ^{2}\omega \left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)^{2}}}=\alpha +{\frac {\varepsilon }{\left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)^{2}}}$,

si nous posons

$2\alpha \left({\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta \cos 2\omega }{\cos \omega }}\right)^{2}=\varepsilon$.

C’est pourquoi, en écrivant $\pi$ à la place de ${\sqrt {\overset {}{p}}},$ on déterminera $\pi$ par l’équation

$(\pi -\alpha )\left(1-{\frac {\delta }{\pi ^{2}}}\right)^{2}=\varepsilon$,