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LIVRE I, SECTION III.

qui convenablement développée s’élèverait au cinquième degré. Posons $\pi =q+\mu ,$ de telle sorte que $q$ soit une valeur approchée de $\pi ,$ et $\mu$ une très-petite quantité dont on peut négliger le carré et les puissances supérieures ; on trouve par cette substitution,

$(q-\alpha )\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)^{2}+\mu \left[\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)^{2}+{\frac {4\delta (q-\alpha )}{q^{3}}}\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)\right]=\varepsilon$

ou

$\mu ={\frac {\varepsilon q^{5}-(q^{2}-\alpha q)(q^{2}-\delta )^{2}}{(q^{2}-\delta )(q^{3}+3\delta q-4\alpha \delta )}},$

et par suite,

$\pi ={\frac {\varepsilon q^{5}-(q^{2}-\delta )(\alpha q^{2}+4\delta q-5\alpha \delta )q}{(q^{2}-\delta )(q^{3}+3\delta q-4\alpha \delta )}}.$

Nous avons maintenant, dans notre problème, la valeur approximative de $\pi ,$ à savoir $3\alpha ,$ qui étant substituée à la place de $q$ dans la formule précédente, donne la valeur corrigée

$\pi ={\frac {243\alpha ^{4}\varepsilon +3\alpha (9\alpha ^{2}-\delta )(9\alpha ^{2}+7\delta )}{(9\alpha ^{2}-\delta )(27\alpha ^{2}+5\delta )}}.$

En posant donc,

${\frac {\delta }{27\alpha ^{2}}}=\beta ,$  ${\frac {\varepsilon }{(1-3\beta )\alpha }}=\gamma ,$

la formule prend cette forme-ci :

$\pi ={\frac {\alpha (1+\gamma +21\beta )}{1+5\beta }},$

et toutes les opérations nécessaires à la solution du problème sont contenues dans les cinq formules :

I.

${\frac {r'}{r}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega ).$

II.

${\frac {\Delta rr'}{3kt\cos 2\omega }}=\alpha .$

III.

${\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{27\alpha ^{2}\cos \omega }}=\beta .$

IV.

${\frac {2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\Delta \cos ^{2}2\omega }{(1-3\beta )\cos ^{2}\omega }}=\gamma .$