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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

V.

${\frac {\alpha (1+\gamma +21\beta )}{1+5\beta }}={\sqrt {\overset {}{p}}}.$

S’il plaît de diminuer quelque chose de la précision de ces formules, on pourra obtenir des expressions encore plus simples. En faisant, en effet, $\cos \omega$ et $\cos 2\omega =1,$ et en développant la valeur de ${\sqrt {\overset {}{p}}}$ en série suivant les puissances croissantes de $\Delta ,$ on obtient, en négligeant les quatrièmes puissances et celles plus élevées,

${\begin{aligned}{\sqrt {\overset {}{p}}}=\alpha \left(3-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {\Delta ^{2}{\sqrt {rr'}}}{18\alpha ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

dans lesquelles $\Delta$ doit être exprimé en parties du rayon. C’est pourquoi, en faisant ${\frac {\Delta rr'}{kt}}={\sqrt {p'}},$ on a

VI.

$p=p'\left(1-{\frac {1}{3}}\Delta ^{2}+{\frac {\Delta ^{2}{\sqrt {rr'}}}{3p'}}\right).$

De la même manière, en développant ${\sqrt {\overset {}{p}}}$ en série, suivant les puissances croissantes de $\sin \Delta ,$ on obtient, en posant ${\frac {rr'\sin \Delta }{kt}}={\sqrt {p''}},$

VII.

${\sqrt {\overset {}{p}}}=\left(1+{\frac {\sin ^{2}\Delta {\sqrt {rr'}}}{6p''}}\right){\sqrt {p''}},$

ou

VIII.

$p=p''+{\frac {1}{3}}\sin ^{2}\Delta {\sqrt {rr'}}.$

Les formules VII et VIII s’accordent avec celles que l’illustre Euler a développées dans le « Theoria motus planetarum et cometarum, » et la formule VI avec celle qui a été employée dans les « Recherches et calculs sur la vraie orbite elliptique de la comète de 1769, » p. 80.

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Les exemples suivants éclairciront la pratique des méthodes précédentes, et permettront en même temps d’estimer le degré de précision.

I. Soient $\log r=0,3307640,$ $\log r'=0.3222239,$ $\Delta =7^{\circ }34'53''\!,73$