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LIVRE I, SECTION III.

et aussi

${\sqrt {\overset {}{a}}}=\pm {\frac {\sqrt {2\left(l+\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}}{\sin g}},$

dans laquelle il faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que $\sin g$ sera positif ou négatif. La formule XII de l’art. 8 nous donne l’équation

${\begin{aligned}{\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}&=\mathrm {E} '-e\sin \mathrm {E} '-\mathrm {E} +e\sin \mathrm {E} \\&=2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} \\&=2g-\sin 2g+2\cos f\sin g{\frac {\sqrt {rr'}}{a}}.\end{aligned}}$

Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de $a$ sa valeur [10], et qu’on pose par abréviation

[11]

${\frac {kt}{2^{\frac {3}{2}}\cos ^{\frac {3}{2}}\!f\,(rr')^{\frac {3}{2}}}}=m$,

on trouve, toutes réductions convenablement faites,

[12]

$\pm m=\left(l+\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {1}{2}}\!+\left(l+\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {3}{2}}\left({\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{3}g}}\right)$

dans laquelle le signe supérieur ou le signe inférieur doit être placé devant $m$, suivant que $\sin g$ est positif ou négatif.

Toutes les fois que le mouvement héliocentrique est compris entre 180° et 360°, ou plus généralement, toutes les fois que $\cos f$ est négatif, la quantité $m$ déterminée par la formule [11] devient imaginaire. Pour éviter cela, nous adopterons dans ce cas là, à la place des équations [9] et [11], les suivantes :

[9∗]

${\frac {{\sqrt {\dfrac {r'}{r}}}+{\sqrt {\dfrac {r}{r'}}}}{2\cos f}}=1-2\mathrm {L}$,

[11∗]

${\frac {kt}{2^{\frac {3}{2}}(-\cos f)^{\frac {3}{2}}(rr')^{\frac {3}{2}}}}=\mathrm {M}$,

d’où nous obtiendrons, à la place des formules [10] et (12]