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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

[10∗]

$a={\dfrac {-2\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}g}}.$

[12∗]

$\;\;\pm \mathrm {M} =-\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {1}{2}}\!\!+\!\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {3}{2}}\!\left(\!{\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{3}g}}\!\right)$

dans laquelle, le signe à prendre est déterminé de la même manière que précédemment.

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Un double travail se présente maintenant à nous : premièrement, que de l’équation transcendante [12], puisqu’elle n’admet pas de solution directe, nous déterminions l’inconnue $g$ le plus commodément ; secondement, que de l’angle $g$ trouvé nous déduisions les éléments eux-mêmes. Avant d’entreprendre ces questions, effectuons une transformation particulière au moyen de laquelle le calcul des quantités auxiliaires $l$ ou $\mathrm {L}$ est promptement achevé, et en outre plusieurs formules développées plus loin sont réduites à une forme plus élégante.

En introduisant en effet l’angle auxiliaire $\omega ,$ devant être déterminé par la relation

${\sqrt[{4}]{\frac {r'}{r}}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega ),$

il vient

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {r'}{r}}}+{\sqrt {\frac {r}{r'}}}&=2+\left[\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )-\operatorname {cotang} (45^{\circ }\!+\omega )\right]^{2}\\&=2+4\operatorname {tang} ^{2}{2\omega }\,;\end{aligned}}$

d’où l’on a

${\begin{aligned}l&={\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}+{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}&\mathrm {L} &=-{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}-{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}\end{aligned}}.$

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Nous considérerons d’abord le cas où, par la résolution de l’équation [12], on obtient pour $g$ une valeur qui n’est pas trop grande, de telle sorte que ${\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{3}g}}$ puisse être développé en série suivant les