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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

tions coniques, il sera convenable de traiter chacune d’elles en particulier ; nous commencerons par l’ELLIPSE.

Qu’à deux positions de l’astre correspondent les anomalies vraies $v,\,v'$ (dont $v$ répond à l’époque antérieure), les anomalies excentriques $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} '$ et les rayons vecteurs $r,$ $r'\,;$ soient ensuite $p$ le demi-paramètre, $e=\sin \varphi$ l’excentricité, $a$ le demi grand axe, $t$ le temps pendant lequel l’astre passe de la première position à la seconde ; posons enfin, $v'-v=2f,$ $v'+v=2\mathrm {F} ,$ $\mathrm {E} '\!-\!\mathrm {E} =2g,$ $\mathrm {E} '\!+\!\mathrm {E} =2\mathrm {G} ,$ $a\cos \varphi ={\frac {p}{\cos \varphi }}=b.$ Ces conventions faites, nous déduisons facilement, par la combinaison des formules V, VI, art. 8, les équations suivantes :

[1]

$b\sin g=\sin f{\sqrt {rr'}},$

[2]

$b\sin \mathrm {G} =\sin \mathrm {F} {\sqrt {rr'}},$

$p\cos g=\left[\cos {\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}v'.(1\!+\!e)+\sin {\frac {1}{2}}v\sin {\frac {1}{2}}v'.(1\!-\!e)\right]{\sqrt {rr'}}$

ou

[3]

$p\cos g=(\cos f+e\cos \mathrm {F} ){\sqrt {rr'}},$

et de même

[4]

$p\cos \mathrm {G} =(\cos \mathrm {F} +e\cos f){\sqrt {rr'}}.$

De la combinaison des équations [3], [4], on obtient ensuite

[5]

$\cos f{\sqrt {rr'}}=(\cos g-e\cos \mathrm {G} )a,$

[6]

$\cos \mathrm {F} {\sqrt {rr'}}=(\cos \mathrm {G} -e\cos g)a.$

Au moyen de la formule III, art. 8, nous obtenons

[7]

$r'-r=2ae\sin g\sin \mathrm {G} .$

$r'+r=2a-2ae\cos g\cos \mathrm {G} =2a\sin ^{2}g+2\cos f\cos g{\sqrt {rr'}},$

d’où

[8]

$a={\frac {r'+r-2\cos f\cos g{\sqrt {rr'}}}{2\sin ^{2}g}}.$

Posons

[9]

${\frac {{\sqrt {\dfrac {r'}{r}}}+{\sqrt {\dfrac {r}{r'}}}}{2\cos f}}=1+2l,$

et l’on aura

[10]

$a={\frac {2\left(l+\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}g}}.$