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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

${\begin{aligned}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r'}}&={\frac {2e}{p}}\sin f\sin \mathrm {F} ,\\{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}&={\frac {2}{p}}+{\frac {2e}{p}}\cos f\cos \mathrm {F} ,\end{aligned}}$

la formule suivante se déduira sans peine,

[25]

$\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {(r'-r)\sin f}{2\cos g{\sqrt {rr'}}-(r'+r)\cos f}},$

de laquelle, en introduisant l’angle $\omega ,$ il vient

[26]

$\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {\sin f\sin 2\omega }{\cos ^{2}\!2\omega \sin \!{\frac {1}{2}}(f\!-\!g)\sin \!{\frac {1}{2}}(f\!+\!g)-\sin ^{2}\!2\omega \cos f}}.$

L’ambiguïté est ici écartée comme précédemment. Aussitôt que les angles $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ auront été trouvés, on aura $v=\mathrm {F} -f,$ $v'=\mathrm {F} +f,$ d’où la position du périhélie sera connue ; et aussi $\mathrm {E} =\mathrm {G} -g,$ $\mathrm {E} '=\mathrm {G} +g.$ Enfin, le mouvement moyen pendant le temps $t,$ sera

${\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}=2g-2e\cos \mathrm {G} \sin g\,;$

l’accord de ces expressions servira à confirmer le calcul ; l’époque de l’anomalie moyenne correspondant à l’instant compris entre les deux époques proposées sera $\mathrm {G} -e\sin \mathrm {G} \cos g,$ laquelle pourra à volonté, être transportée à tout autre instant.

Il est encore un peu plus commode de calculer les anomalies moyennes pour les deux époques données par les formules $\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} '-e\sin \mathrm {E} ',$ et d’employer leur différence, en la comparant à la quantité ${\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}},$ à confirmer l’exactitude du calcul,

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Les équations développées dans l’article précédent jouissent en vérité de tant de justesse qu’il semble qu’on ne peut rien désirer de plus. Néanmoins, on peut obtenir quelques autres formules au moyen desquelles les éléments de l’orbite sont déterminés avec encore beaucoup plus d’élégance et de facilités ; mais la démonstration de ces formules est un peu plus détournée.