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LIVRE I, SECTION III.

on déduit facilement la formule suivante, qui est plus convenable,

[21]

$\operatorname {tang} ^{2}\!{\frac {1}{2}}\varphi ={\frac {\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)+\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f+g)+\operatorname {tang} ^{2}2\omega }},$

à laquelle on peut aussi donner la forme suivante (en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\cos ^{2}2\omega$),

[22]

$\operatorname {tang} ^{2}\!{\frac {1}{2}}\varphi ={\frac {\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)+\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)\sin ^{2}2\omega }{\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f+g)+\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)\sin ^{2}2\omega }}.$

On pourra toujours déterminer l’angle $\varphi ,$ avec toute précision, au moyen de l’une ou l’autre formule (en employant si cela convient, les angles auxiliaires dont les tangentes sont ${\frac {\operatorname {tang} 2\omega }{\sin {\frac {1}{2}}(f-g)}},$ ${\frac {\operatorname {tang} 2\omega }{\sin {\frac {1}{2}}(f+g)}},$ pour la première, ou ${\frac {\sin 2\omega }{\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(f-g)}},$ ${\frac {\sin 2\omega }{\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(f+g)}}$ pour la dernière).

Pour la détermination de l’angle $\mathrm {G} ,$ on peut employer la formule suivante qui se déduit naturellement de la combinaison des équations 5, 7 et de celle qui suit non numérotée,

[23]

$\operatorname {tang} \mathrm {G} ={\frac {(r'-r)\sin g}{(r'+r)\cos g-2\cos f{\sqrt {rr'}}}},$

de laquelle, en introduisant $\omega ,$ on trouve facilement

[24]

$\operatorname {tang} \mathrm {G} ={\frac {\sin g\sin 2\omega }{\cos ^{2}\!2\omega \sin {\dfrac {1}{2}}(f\!-\!g)\sin {\dfrac {1}{2}}(f\!+\!g)+\sin ^{2}\!2\omega \cos g}}.$

L’ambiguïté qui se présente ici est facilement éludée par le secours de l’équation 7 qui apprend que l’on doit prendre $\mathrm {G}$ entre 0 et 180°, ou entre 180° et 360°, selon que le numérateur dans ces deux formules est positif ou négatif.

En combinant l’équation 3 avec celles-ci, qui découlent immédiatement de l’équation II art. 8,