Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/155

136

LIVRE I, SECTION III.

Nous reprenons, de l’art. 8, les équations suivantes que nous distinguons, pour plus de commodité, par des nombres nouveaux :

I.

$\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r}{a}}}=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {(1+e)}},$

II.

$\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {(1-e)}},$

III.

$\sin {\frac {1}{2}}v'{\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} '{\sqrt {(1+e)}},$

IV.

$\cos {\frac {1}{2}}v'{\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} '{\sqrt {(1-e)}}.$

Nous multiplions I par $\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g),$ II par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g),$ d’où nous obtenons, les produits étant ajoutés,

${\begin{aligned}\cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1+e)}}\\&+\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1-e)}}\end{aligned}}$

ou, à cause de

${\sqrt {(1+e)}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi +\sin {\frac {1}{2}}\varphi ,$  ${\sqrt {(1-e)}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi -\sin {\frac {1}{2}}\varphi .$

$\cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!+\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).$

Exactement de la même manière, en multipliant III par $\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -g),$ IV par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -g),$ on trouve, en ajoutant les produits,

$\cos {\frac {1}{2}}(f\!+\!g){\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!-\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).$

En retranchant de cette équation la précédente, il vient

$\cos {\frac {1}{2}}(f+g)\left({\sqrt {\frac {r'}{a}}}-{\sqrt {\frac {r}{a}}}\right)=2\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F-\mathrm {G} } )$

ou, en introduisant l’angle auxiliaire $\omega ,$

[27]

$\cos {\frac {1}{2}}(f+g)\operatorname {tang} 2\omega =\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F-\mathrm {G} } )\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}.$