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LIVRE I, SECTION III.
Nous reprenons, de l’art. 8, les équations suivantes que nous distinguons, pour plus de commodité, par des nombres nouveaux :
I.
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II.
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III.
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IV.
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Nous multiplions I par
II par
d’où
nous obtenons, les produits étant ajoutés,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1+e)}}\\&+\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1-e)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2cb2b7cf8af205933bfdf044e819a1beeafdad)
ou, à cause de
![{\displaystyle {\sqrt {(1-e)}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi -\sin {\frac {1}{2}}\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648f4addcf50a71c5ecfe708426769d03f64b600)
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!+\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8328ae38e26c3e98b8d7b68515269804471d1305)
Exactement de la même manière, en multipliant III par
IV par
on trouve, en ajoutant les produits,
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}(f\!+\!g){\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!-\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1e26df38af7822141f187c7984c704ff04bd3c)
En retranchant de cette équation la précédente, il vient
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}(f+g)\left({\sqrt {\frac {r'}{a}}}-{\sqrt {\frac {r}{a}}}\right)=2\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F-\mathrm {G} } )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203875009e1d1965ac791e7822a96cd5d3d826c3)
ou, en introduisant l’angle auxiliaire ![{\displaystyle \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0d8eba2c8829fecf9414b15b1d02c24db3a553)
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