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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

C’est pourquoi, comme $g$ tombe aussi entre les mêmes limites (si $2g$ en effet, atteignait 360° ou le dépassait, le mouvement autour du Soleil, atteindrait ou surpasserait une révolution entière), on déduit spontanément de l’équation précédente que $\rho =2a\sin g\sin h,$ pourvu que la corde soit considérée comme une quantité positive. Puisque, ensuite, on a

$r+r'=2a(1-e\cos g\cos \mathrm {G} )=2a(1-\cos g\cos h),$

il est évident que si l’on pose $h-g=\delta ,\;h+g=\varepsilon ,$ on trouve

[1]

$r+r'-\rho =2a(1-\cos \delta )=4a\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}\delta ,$

[2]

$r+r'+\rho =2a(1-\cos \varepsilon )=4a\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}\varepsilon .$

On a enfin,

$kt=a^{\frac {3}{2}}(2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} )=a^{\frac {3}{2}}(2g-2\sin g\cos h)\,;$

ou

[3]

$kt=a^{\frac {3}{2}}\left[\varepsilon -\sin \varepsilon -(\delta -\sin \delta )\right].$

D’après les équations 1 et 2, les angles $\delta$ et $\varepsilon$ pourront donc être déterminés au moyen de $r+r',$ $\rho$ et $a\,;$ c’est pourquoi, au moyen des mêmes quantités, le temps $t$ pourra être déterminé à l’aide de l’équation 3. On peut, si on le préfère, présenter ainsi cette formule :

${\begin{alignedat}{4}&kt\,=&&a^{\frac {3}{2}}\left[\arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}-\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}\right.\\&&&\;\;\;-\left.\arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}+\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}\right].\end{alignedat}}$

Mais dans la détermination des angles $\delta$ et $\varepsilon$ par leur cosinus, il reste une incertitude qu’il convient d’examiner plus particulièrement. Il est en vérité, évident de soi-même, que $\delta$ doit tomber entre $-180^{\circ }$ et $+180^{\circ },$ et $\varepsilon$ entre $0^{\circ }$ et $360^{\circ }\,;$ mais alors, ces deux angles semblent admettre une double détermination, et par suite le temps qui en résulte, une quadruple. Nous avons cependant, de l’équation 5, art. 88,

$\cos f.{\sqrt {rr'}}=a(\cos g-\cos h)=2a\sin {\frac {1}{2}}\delta \sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \,;$

maintenant, $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ est nécessairement une quantité positive, d’où