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LIVRE I, SECTION III.
nous concluons que
et
doivent être affectés des mêmes
signes, et par suite que
doit être pris entre
et
ou entre
et
selon que
sera positif ou négatif, c’est-à-dire selon
que le mouvement héliocentrique
aura été plus petit ou plus grand
que 180°. Il est en outre évident, que pour
doit nécessairement être nul. De cette manière
est complètement déterminé.
Mais la détermination de l’angle
reste nécessairement douteuse, de
sorte que l’on obtient toujours pour le temps deux valeurs, dont on ne
peut décider laquelle est la vraie, à moins que ce ne soit indiqué
d’autre part. La raison de ce phénomène s’aperçoit facilement ; il est
constant, en effet, que par deux points donnés on peut décrire deux
ellipses différentes, ayant toutes deux leur foyer au même point
donné et, en même temps, le même demi-grand axe[1] ; mais le mouvement du premier lieu au second, dans ces ellipses, est évidemment effectué dans des temps inégaux.
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En désignant par
un arc quelconque compris entre
et
et par
le sinus de l’arc
on sait qu’on a
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi =s+{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{7}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d36b3df942cc92bcddaf5292ee7a968bba80056)
On a ensuite
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin \chi =s{\sqrt {1-s^{2}}}=s-{\frac {1}{2}}s^{3}-{\frac {1.1}{2.4}}s^{5}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}s^{7}-\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da53efde30633b28d1aaabe7cf0275ca1ed2ae93)
et par suite,
![{\displaystyle \chi -\sin \chi =4\left({\frac {1}{3}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{2}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{7}+{\frac {1}{9}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{9}+\dots ,\,\mathrm {etc.} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad8ad20b1695587ddf98a41844b83108c0ab693)
Nous substituons successivement, dans cette série, à la place de
et
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66019915af81537707aa2c70ff79385620246856)
- ↑ En décrivant du premier lieu un cercle avec
pour rayon, et du second
lieu un second cercle avec
le second foyer de l’ellipse tombera évidemment à
l’intersection de ces deux cercles. C’est pourquoi, comme généralement parlant, il y a
toujours deux intersections, il en résultera deux ellipses différentes.