Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/178

159

RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

et nous multiplions les résultats par $a^{\frac {3}{2}}\,;$ on obtient ainsi respectivement, les séries

${\begin{aligned}{\frac {1}{6}}(r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{a}}(r+r'-\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{a^{2}}}(r+r'-\rho )^{\frac {7}{2}}+\\{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{a^{3}}}(r+r'-\rho )^{\frac {9}{2}}+\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{6}}(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{a}}(r+r'+\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{a^{2}}}(r+r'+\rho )^{\frac {7}{2}}+\\{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{a^{3}}}(r+r'+\rho )^{\frac {9}{2}}+\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

dont nous représenterons les sommes par $\mathrm {T} ,$ $\mathrm {U} .$

On voit maintenant, sans difficulté, que puisque l’on a

$2\sin {\frac {1}{2}}\delta =\pm {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{a}}}$

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris selon que $2f$ est plus petit ou plus grand que 180° on obtient

$a^{\frac {3}{2}}(\delta -\sin \delta )=\pm \mathrm {T} ,$

le signe étant pareillement déterminé.

De la même manière, si pour $\varepsilon$ on prend la plus petite valeur, inférieure à 180°, on a

$a^{\frac {3}{2}}(\varepsilon -\sin \varepsilon )=\mathrm {U} \,;$

mais en prenant l’autre valeur qui est complémentaire de celle-ci à 360°, on a évidemment

$a^{\frac {3}{2}}(\varepsilon -\sin \varepsilon )=a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }\!-\mathrm {U} .$

De là, on obtient donc les deux valeurs relatives au temps $t,$

${\frac {\mathrm {U} \mp \mathrm {T} }{k}},$ et${\frac {a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }}{k}}-{\frac {\mathrm {U} \pm \mathrm {T} }{k}}.$

108

Si l’on considère la parabole comme une ellipse, dont le grand axe