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LIVRE I, SECTION III.

est infiniment grand, l’expression du temps trouvé dans l’article précédent devient

${\frac {1}{6k}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right]\,;$

mais comme peut-être la déduction de cette formule pourrait être exposée à quelques doutes, nous en donnerons une autre indépendante de l’ellipse.

En posant pour simplifier

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\theta ,\quad \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v'=\theta ',$  on a  $r={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta ^{2}),\quad r'={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta '^{2}),$

$\cos v={\frac {1\!-\!\theta ^{2}}{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \cos v'={\frac {1\!-\!\theta '^{2}}{1\!+\!\theta '^{2}}},\quad \sin v={\frac {2\theta }{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \sin v'={\frac {2\theta '}{1\!+\!\theta '^{2}}}.$

De là il vient

$r'\cos v'-r\cos v={\frac {1}{2}}p(\theta ^{2}-\theta '^{2}),\quad r'\sin v'-r\sin v=p(\theta '-\theta ),$

et par suite

$\rho ^{2}={\frac {1}{4}}p^{2}(\theta '-\theta )^{2}\left[4+(\theta '+\theta )^{2}\right].$

On voit maintenant facilement que $\theta '-\theta ={\frac {\sin f}{\cos {\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}v'}}$ est une quantité positive ; en posant donc

${\sqrt {\left(1+{\frac {1}{4}}(\theta '+\theta )^{2}\right)}}=\eta ,$ on aura  $\rho =p(\theta '-\theta )\eta .$

On a ensuite,

$r+r'={\frac {1}{2}}p(2+\theta ^{2}+\theta '^{2})=p\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}\right)$

c’est pourquoi l’on a

${\begin{aligned}{\frac {r+r'+\rho }{p}}&=\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2},\\{\frac {r+r'-\rho }{p}}&=\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2}.\end{aligned}}$

De la première équation, on déduit immédiatement,