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LIVRE I, SECTION III.
est infiniment grand, l’expression du temps trouvé dans l’article précédent devient
![{\displaystyle {\frac {1}{6k}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2270c09251c4c8f499499fd219bebd3e9db0aeef)
mais comme peut-être la déduction de cette formule pourrait être
exposée à quelques doutes, nous en donnerons une autre indépendante de l’ellipse.
En posant pour simplifier
on a
![{\displaystyle r={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta ^{2}),\quad r'={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta '^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f710be730a6f84e6b8f159a3457013d95c0d9b)
![{\displaystyle \cos v={\frac {1\!-\!\theta ^{2}}{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \cos v'={\frac {1\!-\!\theta '^{2}}{1\!+\!\theta '^{2}}},\quad \sin v={\frac {2\theta }{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \sin v'={\frac {2\theta '}{1\!+\!\theta '^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bb83fe1ea52b56c40fff3591f9a92304fce746)
De là il vient
![{\displaystyle r'\cos v'-r\cos v={\frac {1}{2}}p(\theta ^{2}-\theta '^{2}),\quad r'\sin v'-r\sin v=p(\theta '-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b90cb403b948a67be462fba20abbc661048752f)
et par suite
![{\displaystyle \rho ^{2}={\frac {1}{4}}p^{2}(\theta '-\theta )^{2}\left[4+(\theta '+\theta )^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916ec079c27a42607c81f7aa5a60c514964c0641)
On voit maintenant facilement que
est
une quantité positive ; en posant donc
on aura
![{\displaystyle \rho =p(\theta '-\theta )\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234fa25efedf280da2884217c4eae9ae1164623e)
On a ensuite,
![{\displaystyle r+r'={\frac {1}{2}}p(2+\theta ^{2}+\theta '^{2})=p\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0908ed992ceaed413ac0ed7ddf2c4b488768521a)
c’est pourquoi l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r+r'+\rho }{p}}&=\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2},\\{\frac {r+r'-\rho }{p}}&=\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18981d0da871db8f0637001a81a86e426153d0fa)
De la première équation, on déduit immédiatement,